Agent de maîtrise 2021 : corrigé de maths, Hauts-de-France

Proposition de corrigé — non officielle. Concours externe d’agent de maîtrise territorial, session 2021, sujet régional des Hauts-de-France : les cinq exercices de mathématiques, toutes spécialités.

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Exercice 1 : répartir les journées et les salaires

Appelons x le nombre de journées de la première personne. La deuxième travaille 3x journées et la troisième 45 − 4x journées. Les tarifs journaliers donnent :

85x + 75 × 3x + 60 × (45 − 4x) = 3 400, soit 70x + 2 700 = 3 400. Ainsi, x = 10.

La vérification porte sur les deux contraintes : 10 + 30 + 5 = 45 journées et 850 + 2 250 + 300 = 3 400 €. Les 45 journées sont un total de travail facturé, non une durée pendant laquelle les trois personnes travailleraient nécessairement ensemble.

Exercice 2 : le carré et les deux triangles grisés

1 et 2. Longueurs et construction

L’aire de ABCD vaut 16, donc son côté mesure √16 = 4 cm. Comme AE = 3EB et AE + EB = 4, on obtient EB = 1 cm et AE = 3 cm. Les égalités de l’énoncé donnent aussi BF = CG = DH = 3 cm.

Pour construire la figure : tracer le carré ABCD de 4 cm ; placer E sur [AB] à 3 cm de A, F sur [BC] à 3 cm de B, G sur [CD] à 3 cm de C et H sur [DA] à 3 cm de D. Relier H, E, F et G, puis tracer les diagonales [HF] et [EG]. Colorier les deux triangles opposés situés contre [HE] et [FG], comme sur le sujet.

3. Longueur HE

Le triangle HAE est rectangle en A. Puisque AH = AD − DH = 1 cm, le théorème de Pythagore donne HE² = AH² + AE² = 1² + 3² = 10. Donc HE = √10 cm ≈ 3,16 cm.

4. Angles du triangle HAE

L’angle en A mesure 90°. Pour l’angle en H, tan(AHE) = AE/AH = 3 : il mesure environ 71,57°, soit 72° au degré près. Le dernier angle mesure 90° − 71,57° ≈ 18,43°, soit 18°. La somme des trois angles arrondis vaut bien 180°.

5. Nature de HEFG

Les quatre triangles d’angle du grand carré ont les mêmes côtés perpendiculaires, 1 cm et 3 cm. Les quatre côtés de HEFG mesurent donc √10 cm. De plus, les deux angles aigus accolés en E sont complémentaires : l’angle HEF vaut 180° − 18,43° − 71,57° = 90°. Le quadrilatère HEFG est ainsi un carré, et non seulement un losange.

6. Aire grisée

L’aire de HEFG vaut (√10)² = 10 cm². Ses diagonales le partagent en quatre triangles de même aire. Le grisé en représente deux : 10 × 2/4 = 5 cm². Attention à ne pas prendre toute l’aire du petit carré pour l’aire demandée.

Exercice 3 : appliquer un pourcentage

On utilise exclusivement le taux 5,81 % fixé dans cet exercice. Il s’agit d’un calcul sur les données historiques du sujet, non d’une estimation des frais d’un achat immobilier actuel. Les droits de mutation ne représentent d’ailleurs pas, à eux seuls, l’ensemble des frais d’acquisition.

1. Maison. Les droits valent 212 000 × 5,81/100 = 12 317,20 €, donc 12 317 € à l’euro près.

2. Appartement. Si P désigne le prix, 0,0581P = 23 347. On divise par le taux décimal : P = 23 347/0,0581 ≈ 401 841,65 €, soit 401 842 € à l’euro près. Multiplier une seconde fois par 5,81 % ne permettrait pas de retrouver la base.

Exercice 4 : deux groupes de cyclistes

1. À midi, les deux groupes ont-ils dépassé la moitié du parcours ?

Faux. La moitié du parcours mesure 210/2 = 105 km. Le premier groupe a roulé pendant 5 heures, donc parcouru 5 × 25 = 125 km. Le second roule depuis 8 h 30, soit 3 h 30 = 3,5 heures : il a parcouru 3,5 × 29 = 101,5 km. Seul le premier a dépassé les 105 km.

2. Le second groupe dépasse-t-il le premier avant l’arrivée ?

Faux. À 8 h 30, le premier a 1,5 × 25 = 37,5 km d’avance. Le second gagne 29 − 25 = 4 km par heure. Un rattrapage exigerait 37,5/4 = 9,375 heures, soit 9 h 22 min 30 s après 8 h 30, donc à 17 h 52 min 30 s si les deux groupes continuaient à rouler.

Or le premier termine après 210/25 = 8,4 heures, à 15 h 24. Le second termine après 210/29 ≈ 7,2414 heures, vers 15 h 44 min 29 s. Le point de rattrapage théorique se situe donc au-delà du parcours réel.

Exercice 5 : retrouver les quatre cartes

Ici, « même couleur » signifie la même enseigne — pique, cœur, carreau ou trèfle — et non simplement rouge ou noir. La seule enseigne représentée deux fois est le carreau : Joël et Marianne ont donc le 5 et le 8 de carreau.

La carte la plus forte, le 8, appartient à une femme : Marianne a le 8 de carreau, et Joël le 5 de carreau. La moins forte, le 2 de trèfle, appartient à un homme ; Joël étant déjà identifié, Cédric a le 2 de trèfle. Il reste le 6 de cœur pour Jeanne.

Les quatre cartes sont attribuées une seule fois et les trois indices sont respectés.