Agent de maîtrise 2023 : corrigé des mathématiques
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Proposition de corrigé — non officielle. Session 2023. Externe — problèmes de mathématiques. Durée : 2 heures. Coefficient : 2.
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Les réponses suivent les questions du sujet. Les explications permettent de comparer votre raisonnement et de reprendre les notions nécessaires. Les deux versions du sujet de mathématiques 2023 présentant ces mêmes cinq exercices partagent ce corrigé.
Exercice 1. Télésiège et vitesse du skieur
1. Longueur du câble
La différence d’altitude vaut SH = 1 460 − 1 125 = 335 m. La distance horizontale TH est de 0,804 km, soit 804 m. Dans le triangle SHT rectangle en H, le théorème de Pythagore donne :
TS² = 335² + 804² = 758 641, donc TS = 871 m.
La différence d’altitude n’est pas la longueur du trajet : il faut bien employer l’hypoténuse.
2. Vitesse du télésiège
Entre 9 h 57 et 10 h 01 min 45 s, il s’écoule 4 min 45 s = 285 s = 285/3 600 h.
La distance est de 0,871 km. Ainsi v = 0,871 ÷ (285/3 600) ≈ 11,00 km/h, soit 11 km/h à l’unité.
3. Vitesse moyenne à la descente
Le premier kilomètre prend 1/40 h, soit 0,025 h. Les 0,9 km restants prennent 0,9/20 h, soit 0,045 h. Le temps total est donc 0,070 h.
v = 1,9/0,070 ≈ 27,14 km/h, soit 27 km/h. Faire la moyenne simple de 40 et 20 donnerait 30 km/h, résultat faux : les deux vitesses ne sont pas conservées pendant la même durée.
Exercice 2. Réductions commerciales
1. Réduction sur l’ensemble des achats
Les gants coûtent 45 × 0,80 = 36 € après remise. Le bonnet coûte 30 × 0,60 = 18 €. Le client paie donc 54 €, au lieu de 75 €.
La réduction est de 75 − 54 = 21 €. Son taux vaut 21/75 × 100 = 28 %. Il faut rapporter l’économie au prix initial de l’ensemble ; additionner les deux pourcentages serait incorrect.
2. Retrouver le prix initial
Après une remise de 40 %, le prix payé représente 60 % du prix initial. Si P est ce prix, 0,60P = 29,10, donc P = 29,10/0,60 = 48,50 €.
Exercice 3. Pâte et nombre de crêpes
1. Quantité de pâte
Le volume du pavé droit est 20 × 15 × 12 = 3 600 cm³. Un litre correspond à 1 000 cm³ : le restaurateur a préparé 3,6 L.
2. Nombre maximal de crêpes entières
Le rayon d’une crêpe est de 28/2 = 14 cm et son épaisseur de 3 mm = 0,3 cm. Le volume du cylindre est :
V = π × 14² × 0,3 = 58,8π cm³ ≈ 184,73 cm³.
Le quotient 3 600/(58,8π) vaut environ 19,49. On retient la partie entière inférieure : 19 crêpes. Vingt nécessiteraient plus de pâte que le volume disponible. Le calcul suit le modèle de l’énoncé, sans perte de pâte ni variation d’épaisseur.
Exercice 4. QCM expliqué
1. Développer E : réponse B
(2x + 1)(x − 3) = 2x² − 5x − 3 et (x − 1)(x − 2) = x² − 3x + 2.
En soustrayant la seconde expression, on obtient E = x² − 2x − 5. Le signe moins placé devant la deuxième parenthèse change tous ses signes.
2. Factoriser F : réponse C
L’identité 4x² − 25 = (2x − 5)(2x + 5) fait apparaître le facteur commun :
F = (2x − 5)[(2x + 5) + (1 − 6x)] = (2x − 5)(6 − 4x) = 2(2x − 5)(3 − 2x).
La réponse A est une expression développée équivalente, mais la question demande une forme factorisée.
3. Budget restant : réponse C
Après la première dépense, il reste 3/4 du budget. La seconde utilise 3/5 de ce reste ; on en conserve donc 2/5. La fraction finale vaut (3/4) × (2/5) = 3/10 du budget initial.
4. Évolutions successives : réponse B
Le coefficient total est 1,20 × 0,90 × 0,90 = 0,972. Le budget final représente 97,2 % du budget initial : il a baissé de 2,8 %.
Exercice 5. Poteaux et transport
1. Volume de bois
La figure indique une partie droite de 0,90 m, une hauteur totale de 1,20 m et une base carrée de 0,15 m de côté. La pyramide mesure donc 0,30 m de haut. Les trois trous traversent chacun 0,15 m de bois ; leur rayon est de 0,05 m.
| Élément | Calcul du volume en m³ |
|---|---|
| Pavé droit | 0,15² × 0,90 = 0,02025 |
| Pyramide | (0,15² × 0,30)/3 = 0,00225 |
| Trois trous cylindriques | 3 × π × 0,05² × 0,15 ≈ 0,0035343 |
Le volume de bois est la somme des deux solides moins les trous : V ≈ 0,0189657 m³, soit 0,019 m³ à 10⁻³ près.
2. Nombre d’allers-retours
Avec le volume non arrondi, la masse d’un poteau est d’environ 550 × 0,0189657 = 10,4311 kg. Les 400 poteaux pèsent environ 4 172,46 kg.
Trois chargements de 1,3 tonne ne peuvent emporter que 3 900 kg : ils ne suffisent pas. Quatre chargements suffisent ; par exemple 100 poteaux par trajet pèsent environ 1 043,11 kg, sous la limite de 1 300 kg.
Il faut donc 4 allers-retours, le dernier retour étant explicitement demandé. Employer le volume arrondi de 0,019 m³ donne 4 180 kg et conduit au même nombre de trajets.