Agent de maîtrise 2025 : corrigé des mathématiques

Proposition de corrigé — non officielle. Session 2025. Externe — problèmes de mathématiques. Durée : 2 heures. Coefficient : 2.

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Les réponses suivent les questions du PDF ci-dessus. Comparez votre raisonnement et vos calculs aux explications ; les réserves signalées font partie de la réponse proposée.

Le sujet impose π = 3,14. Les résultats ci-dessous suivent cette convention et les données des dessins.

1. Pluviométrie — 6 points

a) Le rayon est 10 cm. La partie cylindrique mesure 1 dm = 10 cm ; la hauteur totale est 0,4 m = 40 cm, donc le cône mesure 30 cm. Volume total : 3,14 × 10² × 10 + (3,14 × 10² × 30) / 3 = 6 280 cm³ = 6,28 litres.

b) En 2021 : 1 423 × 5 = 7 115 litres, soit 7,115 m³.

c) Le total des dix années est 1 489 × 10 = 14 890 L/m². La somme des neuf valeurs connues est 13 156 L/m². Il manque donc 1 734 L/m² en 2024.

d) Un pan mesure 20 × 8 = 160 m². La hauteur d’eau est 187,5 mm = 0,1875 m. Dans le modèle du sujet, volume reçu : 160 × 0,1875 = 30 m³. On ne double pas la surface : seul un des deux pans alimente le dispositif. Pour dimensionner une installation réelle avec une pluie verticale, on utiliserait la surface projetée horizontalement ; l’angle du toit n’est pas fourni ici.

e) En 2023, 1 790 L/m² = 1,79 m³/m². Le toit en tuiles perd 10 %, donc conserve 90 %. Volume récupérable : 160 × 1,79 × 0,90 = 257,76 m³.

f) Diamètre 2,50 m, donc rayon 1,25 m ; longueur 10,20 m. Volume : 3,14 × 1,25² × 10,2 = 50,04375 m³. Arrondi à l’entier supérieur : 51 m³. C’est un arrondi mathématique demandé, pas une capacité utile garantie de 51 m³.

g) TTC : 16 315,83 × 1,20 = 19 578,996 €. Arrondi à l’euro supérieur : 19 579 €.

2. Déplacements et freinage — 5 points

a) Le panneau indique 22 km. À 110 km/h : 22 / 110 = 0,2 heure = 12 minutes. Départ à 18 h 54 : arrivée à 19 h 06, à vitesse moyenne constante.

b) Besoin : 500 × 5,5 / 100 = 27,5 litres. Carburant disponible : 50 × 2/3 ≈ 33,33 litres. Dans les hypothèses de consommation du problème, un arrêt pour ravitailler n’est donc pas nécessaire.

c) En une seconde à 130 km/h : 130 / 3,6 ≈ 36,11 m.

d) Sur chaussée mouillée : 130² / (254 × 0,4) ≈ 166,34 m de freinage. Il ne faut pas confondre cette distance avec la distance totale d’arrêt.

e) V² = 4,4 × 254 × 0,8 = 894,08. V = √894,08 ≈ 29,90 km/h, soit environ 30 km/h.

f) Le temps de réaction devient 1 × 1,5 = 1,5 seconde. Distance de réaction : (50 / 3,6) × 1,5 ≈ 20,83 m. Freinage : 50² / (254 × 0,4) ≈ 24,61 m. Arrêt total : 45,44 m, supérieur aux 40 m disponibles. La collision n’est pas évitée dans ce modèle. Le calcul ne permet pas de déduire une alcoolémie à partir du nombre de verres.

3. Feu de forêt — 5 points

Chaque carreau représente 100 m de côté.

a) PQED est un trapèze : PQ = 900 m, DE = 500 m et hauteur = 200 m. Aire : (900 + 500) × 200 / 2 = 140 000 m² = 14 hectares.

b) AB = 200 m, donc rayon = 100 m. L’arc d’un demi-cercle mesure πr = 314 m. Quatre équipes, avec les deux extrêmes en A et B, créent trois intervalles : 314 / 3 ≈ 104,67 m entre deux équipes voisines le long de l’arc.

c) Citerne : 2 × 2 × 1,2 = 4,8 m³ = 4 800 litres. À 150 L/min : 4 800 / 150 = 32 minutes.

d) La jauge représente deux cinquièmes de la batterie pour 0,2 heure, soit 12 minutes. Autonomie entière : 12 / (2/5) = 30 minutes, en supposant la consommation proportionnelle à la jauge.

e) L’enveloppe C-A-B-E-D peut être décomposée en deux trapèzes de part et d’autre de l’horizontale passant par C. Partie supérieure : (200 + 1 100) × 600 / 2 = 390 000 m². Partie inférieure : (1 100 + 500) × 300 / 2 = 240 000 m². Total : 630 000 m².

On retire la zone brûlée, 140 000 m², et le stockage dans le demi-disque : 3,14 × 100² / 2 = 15 700 m². Forêt non brûlée : 630 000 − 140 000 − 15 700 = 474 300 m². Le stockage n’est pas une surface forestière à conserver dans le résultat.

4. Déchets — 4 points

a) A = 187 / 435 × 100 ≈ 43 % ; B = 435 × 36,7 / 100 = 159,645, soit 160 kg/habitant ; C = 435 × 20,2 / 100 = 87,87, soit 88 kg/habitant ; D = 100 %.

b) E = (187 − 234) / 234 × 100 ≈ −20,1 %. F = 160 / 1,126 ≈ 142 kg/habitant. G = 88 / 1,222 ≈ 72 kg/habitant. H = (435 − 448) / 448 × 100 ≈ −2,9 %. Les quantités de départ se retrouvent en divisant par le coefficient d’évolution, et non en retranchant simplement le pourcentage.

c) Les ordures résiduelles diminuent, tandis que les collectes de matériaux recyclables et déchets verts augmentent : de 214 à 248 kg/habitant ensemble. Leur part passe d’environ 47,8 % à 57 %. Le tri paraît progresser et le total collecté baisse légèrement. Ces chiffres décrivent une collecte ; ils ne prouvent ni le recyclage effectif de tous les matériaux ni, seuls, la baisse de tous les déchets produits.