Agro-Véto 2026 : corrigé de mathématiques

Proposition de corrigé — non officielle. BCPST 2026, méthodes de calcul et raisonnement : probabilités, endomorphisme et loi de Yule–Simon.

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Partie I : approximation de Poisson

1. Loi de Xₙ

Avec N essais indépendants et une probabilité λ/N, Xₙ suit B(N ; λ/N). Le modèle exige N ≥ λ pour que la probabilité soit au plus 1 ; cette restriction ne gêne pas le passage à la limite.

2. Limite

Pour k fixé, (N − k) ln(1 − λ/N) → −λ, car ln(1 − u) = −u + o(u) en 0. Par exponentiation, (1 − λ/N)ᴺ⁻ᵏ → e⁻λ.

3. Probabilité limite

Pour N ≥ k, P(Xₙ = k) = [N(N − 1)…(N − k + 1)/Nᵏ] × (λᵏ/k!) × (1 − λ/N)ᴺ⁻ᵏ. Le premier facteur tend vers 1 ; le dernier vers e⁻λ. La limite est donc e⁻λ λᵏ/k!.

4. Rapport variance / espérance

Pour une loi de Poisson de paramètre λ > 0, espérance et variance valent λ. Leur rapport vaut 1.

Partie II : concentration

5. Inégalité de Markov

Comme X est positive, X ≥ a × 1{X > a}. En prenant l’espérance, E(X) ≥ aP(X > a), donc P(X > a) ≤ E(X)/a. Pour une variable discrète, le même argument consiste à limiter la somme de l’espérance aux valeurs supérieures à a.

6. Borne exponentielle

Pour t > 0, X > a équivaut à eᵗˣ > eᵗᵃ. Markov donne P(X > a) ≤ E(eᵗˣ)e⁻ᵗᵃ = exp(ψ(t) − ta). Pour t = 0, la borne vaut 1 et reste vraie, mais on ne doit pas utiliser l’équivalence précédente.

7a. Cas de Poisson

E(eᵗˣ) = e⁻λ Σ(λeᵗ)ᵏ/k! = exp[λ(eᵗ − 1)]. La série converge pour tout t réel : ψ(t) = λ(eᵗ − 1).

7b. Optimisation

La dérivée de λ(eᵗ − 1) − ta est λeᵗ − a ; la dérivée seconde est positive. Pour a ≥ λ, le minimum sur t ≥ 0 est atteint en t = ln(a/λ), ou t = 0 lorsque a = λ. On obtient P(X > a) ≤ exp[a ln λ − a ln a + a − λ].

7c. Comparaison

Markov donne λ/a. Le logarithme du rapport entre la borne exponentielle et λ/a tend vers −∞, le terme dominant étant −a ln a. La borne exponentielle est donc meilleure pour a assez grand.

Partie III : endomorphisme

8. Existence de l’intégrale

Pour ν > 0, |P(s)|exp(−s/(2ν)) → 0 : l’exponentielle domine toute puissance. Pour s assez grand, ce produit est au plus 1, d’où |P(s)|exp(−s/ν) ≤ exp(−s/(2ν)). Le majorant est intégrable à l’infini ; sur un segment, l’intégrande est continue. Lₚ(ν) est donc bien défini.

9. Monômes

En posant u = s/ν, (1/ν)∫sᵏexp(−s/ν) ds = νᵏ∫uᵏe⁻ᵘ du, avec intégrales de 0 à l’infini. L’intégration par parties donne Jₖ = kJₖ₋₁ et J₀ = 1 ; les termes aux bornes sont nuls. Ainsi Jₖ = k!, et Lₚ(ν) = Σk!aₖνᵏ.

10 et 11. Linéarité et dimension

L conserve les sommes et les multiples scalaires, et envoie les polynômes de degré au plus d dans ce même espace. C’est un endomorphisme. dim R_d[X] = d + 1.

12 et 13. Noyau et surjectivité

Le noyau est l’ensemble des P tels que L(P) = 0. Les coefficients k!aₖ doivent tous être nuls ; comme k! ≠ 0, ker L = {0}. L est injectif, donc surjectif en dimension finie. Son inverse divise le coefficient de Xᵏ par k!.

14. Matrice pour d = 3

Dans la base (1, X, X², X³), Mat(L) = diag(1, 1, 2, 6) : chaque colonne exprime l’image du monôme correspondant.

15 et 16. Valeurs propres

La valeur 1 a pour espace propre Vect(1, X). Pour k de 2 à d, la valeur k! a pour espace propre Vect(Xᵏ). Si d = 1, seule la première valeur apparaît. La base canonique est une base de vecteurs propres : L est diagonalisable pour tout d ≥ 1.

17a. Le commutant de A

C(A) est le noyau de l’application linéaire M ↦ AM − MA. C’est donc un sous-espace vectoriel.

17b. Conditions sur M

Avec A = diag(0, 0, 1), AM ne conserve que la dernière ligne de M, et MA que sa dernière colonne. L’égalité équivaut à c = f = g = h = 0. Les coefficients a, b, d, e et k sont libres.

17c et 17d. Base et exemple

Une base est (E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂, E₃₃) ; la dimension vaut 5. La matrice E₁₂ commute avec A, mais n’appartient pas à Vect(I₃, A), dont toutes les matrices sont diagonales.

Partie IV : loi de Yule–Simon

18 et 19. Convergence et changement de variable

L’intégrande définissant pₖ est positive et majorée par νexp(−(ν + 1)s). L’intégrale converge. Posons t = e⁻ˢ, donc ds = −dt/t : les bornes deviennent 1 et 0. On obtient pₖ = ν∫₀¹ t^ν(1 − t)ᵏ dt.

20a. Somme géométrique

Pour t > 0, Σₖ₌₀ᴺ(1 − t)ᵏ = [1 − (1 − t)ᴺ⁺¹]/t. À t = 0, la somme vaut N + 1 ; la formule s’interprète par prolongement.

20b. Majoration

Comme ν > 1 et 0 ≤ t ≤ 1, t^(ν − 1) ≤ 1. L’intégrale demandée est donc au plus ∫₀¹(1 − t)ᴺ⁺¹dt = 1/(N + 2).

20c. Une loi de probabilité

Les pₖ sont positifs. Leur somme partielle vaut 1 − ν∫₀¹t^(ν − 1)(1 − t)ᴺ⁺¹dt. Le reste est compris entre 0 et ν/(N + 2), donc tend vers 0. Σpₖ = 1 : ces nombres définissent bien la loi d’une variable X à valeurs dans N.

Partie V : moments

Ici, ν > 2.

21a. Relation entre les intégrales

L’intégration de la dérivée de tⁿ⁺¹(1 − t)ᵖ⁺¹ sur [0 ; 1] donne (n + 1)Iₙ,ₚ₊₁ = (p + 1)Iₙ₊₁,ₚ. Les deux valeurs aux bornes sont nulles.

21b. Formule

On a aussi Iₙ,ₚ = Iₙ,ₚ₊₁ + Iₙ₊₁,ₚ. Les deux relations donnent Iₙ₊₁,ₚ = [(n + 1)/(n + p + 2)]Iₙ,ₚ. À partir de I₀,ₚ = 1/(p + 1), la récurrence conduit à Iₙ,ₚ = n!p!/(n + p + 1)!.

21c. Limite

(N + 1)I₁,ᴺ = (N + 1)/[(N + 1)(N + 2)] = 1/(N + 2) → 0.

22a. Somme dérivée

On dérive, pour t > 0, la somme géométrique de 20a, puis on change le signe. Cela donne Σₖ₌₁ᴺ k(1 − t)ᵏ⁻¹ = 1/t² − (1 − t)ᴺ⁺¹/t² − (N + 1)(1 − t)ᴺ/t.

22b. Intégrale principale

ν∫₀¹t^ν(1 − t)/t² dt = ν[1/(ν − 1) − 1/ν] = 1/(ν − 1).

22c. Espérance

La somme Σₖ₌₁ᴺkpₖ est l’intégrale de la formule de 22a multipliée par νt^ν(1 − t). Le premier terme est celui de 22b. Le premier reste est au plus ν/(N + 3), car t^(ν − 2) ≤ 1. Le second est au plus ν(N + 1)I₁,ᴺ⁺¹ = ν(N + 1)/[(N + 2)(N + 3)], car t^(ν − 1) ≤ t. Les deux tendent vers 0. Ainsi E(X) = 1/(ν − 1).

23a. Moment factoriel

L’intégrale admise vaut 2ν∫₀¹t^(ν − 3)(1 − 2t + t²)dt = 2ν[1/(ν − 2) − 2/(ν − 1) + 1/ν]. Après réduction : E[X(X − 1)] = 4/[(ν − 1)(ν − 2)].

23b. Variance

X² = X(X − 1) + X. Les deux espérances finies donnent un second moment fini. En retranchant E(X)², on trouve Var(X) = ν²/[(ν − 1)²(ν − 2)].

23c. Surdispersion

Var(X)/E(X) = ν²/[(ν − 1)(ν − 2)] > 1, puisque ν² − (ν − 1)(ν − 2) = 3ν − 2 > 0.

24. Comparer les modèles avec un échantillon

On peut comparer la variance empirique à la moyenne empirique : un rapport proche de 1 favorise le modèle de Poisson ; une surdispersion marquée est plus compatible avec le modèle de Yule–Simon. Il faut répéter les cultures dans des conditions comparables et tenir compte de l’incertitude d’échantillonnage. Ce diagnostic ne suffit pas à identifier le mécanisme biologique, car une hétérogénéité des conditions peut également augmenter la variance.