Bac 2026 : corrigé de maths anticipée, Antilles-Guyane
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Proposition de corrigé — non officielle. Épreuve anticipée de mathématiques 2026, voie générale sans spécialité : QCM, probabilités et suites.
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Première partie : les huit automatismes
Le QCM ne demande pas de justification sur la copie. Les calculs ci-dessous permettent de comprendre chaque réponse.
| Question | Réponse | Explication |
|---|---|---|
| 1 | c : 1/10 | 2/5 − 3/10 = 4/10 − 3/10 = 1/10. |
| 2 | a | f(x) = (5/2)x − 5 est affine : sa courbe est une droite. Les autres expressions sont de degrés 3 ou 2, ou contiennent 1/x. |
| 3 | d : droite d₄ | y = −x/2 + 1 passe par (0 ; 1) et (2 ; 0). Elle est décroissante ; c’est d₄. |
| 4 | a : 150 km | 2 h 30 min = 2,5 h ; 60 × 2,5 = 150. |
| 5 | c : 200 × 1,2 | Une hausse de 20 % multiplie le prix par 1,20 : le nouveau prix est 240 €. |
| 6 | c | (2x − 5)² = 4x² − 20x + 25, en utilisant (a − b)² = a² − 2ab + b². |
| 7 | d : 5 Ω | R = U²/P = 20²/80 = 400/80 = 5. |
| 8 | c : C | 1/12 < 1/10 = 0,1 < 1/9 < 1/8. À numérateur positif égal, la fraction de plus grand dénominateur est la plus petite. |
Exercice 1 : clubs artistiques et sportifs
1. Probabilités conditionnelles
Les données donnent directement P(S sachant A) = 0,20 et P(S sachant non-A) = 0,40. Ces nombres ne sont pas les probabilités des intersections : ils sont calculés dans deux groupes différents.
2. Arbre complété
Depuis la racine, la branche A porte 0,40 et la branche non-A porte 0,60. Après A, les branches S et non-S portent 0,20 et 0,80. Après non-A, elles portent 0,40 et 0,60. À chaque embranchement, les deux probabilités font 1.
3. Intersections
On multiplie les probabilités le long d’un chemin :
- P(A ∩ S) = 0,40 × 0,20 = 0,08 ;
- P(non-A ∩ S) = 0,60 × 0,40 = 0,24.
Les chemins vers S sont disjoints. Leur somme vaut 0,08 + 0,24 = 0,32, ce qui retrouve la donnée admise.
4. Probabilité d’une activité artistique parmi les sportifs
P(A sachant S) = P(A ∩ S)/P(S) = 0,08/0,32 = 0,25. Parmi les élèves inscrits à une activité sportive, 25 % sont également inscrits à une activité artistique.
5. Indépendance
Si A et S étaient indépendants, P(A ∩ S) serait P(A)P(S) = 0,40 × 0,32 = 0,128. Or elle vaut 0,08. Les événements ne sont donc pas indépendants. On peut aussi comparer P(S sachant A) = 0,20 à P(S) = 0,32.
Exercice 2 : deux modèles de plantation
A1. Les premiers termes
u₁ = 1 200 + 100 = 1 300 ; u₂ = 1 300 + 100 = 1 400. Le terme u₂ représente les 1 400 arbres de la première forêt au 1er janvier 2012.
A2. Relation de récurrence et nature
Chaque année apporte 100 arbres : uₙ₊₁ = uₙ + 100. La suite est arithmétique de raison 100, avec u₀ = 1 200.
A3. Expression explicite
Après n augmentations identiques : uₙ = 1 200 + 100n.
A4. Dépasser 2 950 arbres
1 200 + 100n > 2 950 équivaut à n > 17,5. Le premier entier possible est 18, soit 2028. En 2027, le modèle donne 2 900 arbres ; en 2028, 3 000.
B1. Le 1er janvier 2011
Une hausse de 5 % donne v₁ = 1 000 × 1,05 = 1 050 arbres.
B2. Nature de la suite
vₙ₊₁ = 1,05vₙ : la suite est géométrique de raison 1,05. Son expression est vₙ = 1 000 × 1,05ⁿ. On ne doit pas ajouter 50 chaque année : l’augmentation se calcule sur un effectif qui évolue.
B3. Prévision pour 2030
2030 = 2010 + 20 : on a calculé v₂₀ = 1 000 × 1,05²⁰, soit environ 2 653 arbres, après arrondi à l’unité.
C. La dernière colonne du tableur
Pour n = 29, donc au 1er janvier 2039, la première forêt compte 4 100 arbres et la seconde environ 4 116. La seconde dépasse alors la première d’environ 16 arbres. La colonne n = 28 donnait encore 3 920 contre 4 000 : le dépassement se produit entre ces deux dates dans le modèle annuel.