BEPA 2012 : corrigé de mathématiques, remplacement

Proposition de corrigé — non officielle. BEPA, toutes options, remplacement 2012, Métropole, Antilles, Guyane, Réunion et Mayotte, mathématiques et traitement de données, 1 h 30.

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Exercice 1 : droites et achat de bois

Partie A

1. D passe par (0 ; 20) et (20 ; 0). Son coefficient directeur vaut (0 − 20)/(20 − 0) = −1 et son ordonnée à l’origine vaut 20. Ainsi D : y = −x + 20.

2.a. Pour x = 6, −5 × 6/4 + 23,5 = 16 ; pour x = 18, −5 × 18/4 + 23,5 = 1. Les deux points appartiennent donc à D′. 2.b. Placer ces points et tracer leur droite ; on peut aussi utiliser (0 ; 23,5).

3. À l’intersection, −x + 20 = −1,25x + 23,5. Donc 0,25x = 3,5, d’où x = 14 et y = 6. I(14 ; 6).

Partie B

1. Les vingt stères donnent c + h = 20, donc h = −c + 20. Leur prix donne 25c + 20h = 470. En divisant par 20, h = −1,25c + 23,5. On retrouve exactement le système de la partie A.

2. Son unique solution est 14 stères de chêne et 6 de hêtre. Vérification : 14 + 6 = 20 et 14 × 25 + 6 × 20 = 470 €.

Exercice 2 : parcelles et cubage

Partie A : aire de BOIS

1. BOIS est un trapèze, puisque BO et SI sont parallèles. BHS est un triangle rectangle isocèle en H, puisque BH est perpendiculaire à SI et BH = SH. BOIH est un trapèze rectangle, avec deux angles droits en H et en B ; rien n’impose que ses deux bases aient la même longueur.

2.a. SI = SH + HI = 25 + 80 = 105 m. 2.b. À l’échelle 1/1 000, les dimensions deviennent BO = 10 cm, BH = SH = 2,5 cm, HI = 8 cm et SI = 10,5 cm. Tracer SI, placer H à 2,5 cm de S, élever BH perpendiculaire de 2,5 cm puis tracer BO parallèle à SI sur 10 cm vers la droite. Relier O à I et B à S.

2.c. L’aire du trapèze vaut (BO + SI)BH/2 = (100 + 105) × 25/2 = 2 562,5 m².

3.a. Avec BH = SH = x, SI = x + 80. 3.b. L’aire devient A(x) = [100 + (x + 80)]x/2 = 0,5x² + 90x.

4.a. L’équation est équivalente à x² + 180x − 8 800 = 0. Son discriminant est 180² + 4 × 8 800 = 67 600 = 260². Les solutions réelles sont (−180 ± 260)/2, soit 40 et −220. 4.b. Une longueur ne peut pas être négative : on retient x = 40 m. 4.c. Pour obtenir une parcelle de 4 400 m² avec les autres dimensions fixées, sa hauteur BH et la longueur SH doivent donc chacune mesurer 40 m ; SI mesure alors 120 m. Vérification : (100 + 120) × 40/2 = 4 400.

Partie B : répartition des essences

1. Le total est de 400 arbres. Les chênes représentent 85 %, soit 340 arbres ; les châtaigniers complètent le total : 400 − 340 − 36 − 8 − 6 = 10.

2. Les conifères sont les pins et les épicéas : (8 + 6)/400 × 100 = 3,5 %. 3. Parmi les 386 feuillus, 340 sont des chênes. Leur proportion est 340/386 × 100 ≈ 88,08 %, soit 88 % à l’unité.

4. Le diagramme numéro 2 convient. Son grand secteur de chêne occupe 85 % du disque, le hêtre constitue le deuxième secteur avec 9 %, puis viennent les petits secteurs de 2,5 %, 2 % et 1,5 %. Le numéro 1 réduit trop le secteur du hêtre ; le numéro 3 représente une part de chêne trop petite.

Partie C : cubage

1. « Au moins 2 m³ » inclut la classe [2 ; 2,2[ : 356 + 205 + 113 + 96 = 770 grumes.

2. On estime la moyenne d’une série regroupée en classes en utilisant leurs centres : 1,7 ; 1,9 ; 2,1 ; 2,3 ; 2,5 ; 2,7. La somme pondérée vaut 46 × 1,7 + 184 × 1,9 + 356 × 2,1 + 205 × 2,3 + 113 × 2,5 + 96 × 2,7 = 2 188,6 m³. Le cubage moyen est donc 2,1886 m³, soit 2,189 m³ = 2 189 dm³ après arrondi au dm³. C’est une estimation par centres de classes, pas une moyenne exacte de mesures individuelles non fournies.