BTSA 2012 : corrigé de traitement de données

Proposition de corrigé — non officielle. BTSA, toutes options, traitement de données, session 2012, Métropole et Réunion, code 2012-BTS103-NOR-ME-RE. Les exercices et annexes sont traités.

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Exercice 1 — Catégorie des œufs

1. Avec des prélèvements assimilés à des épreuves indépendantes de même probabilité 0,8, le nombre d’œufs de catégorie A suit X ∼ B(70 ; 0,8).

2. E(X) = np = 56. Sur un grand nombre d’échantillons comparables de 70 œufs, le nombre de catégorie A serait en moyenne 56 ; il n’est pas obligatoirement égal à 56 dans chaque échantillon.

3. L’écart type vaut √(70 × 0,8 × 0,2) = √11,2 ≈ 3,35.

4. P(X = 56) = C(70,56) × 0,8⁵⁶ × 0,2¹⁴ ≈ 0,118464, soit 0,12 au centième.

5. Les inégalités sont strictes : 55 < X < 60 correspond aux valeurs 56, 57, 58 et 59. On additionne leurs probabilités binomiales : P(55 < X < 60) ≈ 0,424088, soit 0,42.

6. Les effectifs attendus de succès et d’échecs sont 56 et 14, suffisamment grands pour utiliser une normale de moyenne 56 et de variance 11,2, donc d’écart type √11,2. On note Y cette variable normale et Φ la fonction de répartition de la normale centrée réduite.

7a. Au moins 60 signifie X ≥ 60. Avec correction de continuité, P(X ≥ 60) ≈ P(Y ≥ 59,5) = 1 − Φ((59,5 − 56)/√11,2) ≈ 0,147821, soit 0,15.

7b. Moins de 50 signifie X ≤ 49. On utilise P(Y < 49,5), soit Φ((49,5 − 56)/√11,2) ≈ 0,026054, arrondi à 0,03.

Exercice 2 — Masse des œufs

1. P(X > 43,7) = 0,99 implique P(X ≤ 43,7) = 0,01. Donc (43,7 − μ)/7 = Φ⁻¹(0,01) ≈ −2,32635. On obtient μ ≈ 59,98 g, proche de 60 g. La table arrondie peut conduire à un résultat voisin ; la suite du sujet impose explicitement μ = 60.

2. Le groupe M correspond à 53 ≤ X < 63. Les bornes centrées réduites sont (53 − 60)/7 = −1 et (63 − 60)/7 = 3/7. Ainsi P(M) = Φ(3/7) − Φ(−1) ≈ 0,50723, soit environ 50,7 %. Les frontières exactes ne modifient pas le résultat pour une loi continue.

3a. La moyenne de 30 masses normales indépendantes suit une normale de moyenne μ = 60 g et d’écart type 7/√30 ≈ 1,278 g, soit de variance 49/30.

3b. Pour un intervalle central à 95 %, il faut a = Φ⁻¹(0,975) × 7/√30 ≈ 2,505 g. L’intervalle pour la moyenne d’échantillon est donc environ ]57,495 ; 62,505[ g. On utilise l’écart type de la moyenne, pas celui d’un œuf individuel.

Exercice 3 — Mode d’élevage et qualité gustative

On teste l’indépendance entre les quatre modes d’élevage et les deux catégories gustatives. H0 affirme leur indépendance ; H1 une association.

Les totaux des colonnes sont 37, 30, 23 et 30. Les lignes comptent 56 avis moyens et 64 avis extra, sur 120 personnes. Sous H0, chaque effectif attendu est le produit du total de ligne et du total de colonne divisé par 120 :

Tous les effectifs attendus dépassent 5. En conservant les valeurs non arrondies, χ² = Σ(observé − attendu)²/attendu ≈ 23,152. Par exemple, la case moyenne/mode 1 contribue (5 − 14)²/14 ≈ 5,786.

Le nombre de degrés de liberté est (2 − 1)(4 − 1) = 3. La valeur critique à 5 % dans l’annexe est 7,81. Puisque 23,152 > 7,81, on rejette l’indépendance au seuil de 5 %.

Les données mettent donc en évidence une liaison entre mode d’élevage et appréciation gustative. Elles ne prouvent pas à elles seules une causalité, ni que chaque œuf d’un mode soit meilleur que chaque œuf d’un autre. Les proportions d’avis extra sont 22/37, 25/30, 10/23 et 7/30 : elles décrivent cet échantillon de dégustation.