BTSA 2013 : corrigé de traitement de données, juin

Proposition de corrigé — non officielle. BTSA, toutes options, traitement de données, session 2013, Métropole et Réunion, code 2013-BTS103-NOR-ME-RE. Les exercices et annexes sont traités.

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Exercice 1 — Départements signalant le frelon asiatique

1. Avec les huit couples de l’énoncé, la calculatrice donne r(X,Y) ≈ 0,991 et r(X,ln(Y)) ≈ 0,913. Les coefficients sont positifs : les deux séries augmentent avec le rang de l’année.

2. Le coefficient de détermination de la régression linéaire de Y en X est r² ≈ 0,982. Environ 98,2 % de la dispersion de Y autour de sa moyenne est expliquée par cet ajustement dans les données observées. Ce chiffre n’est ni une probabilité que le modèle soit vrai ni une garantie de prévision.

3. La corrélation directe est plus proche de 1 et le premier nuage est mieux aligné. On retient ici l’ajustement de Y en X, plutôt que celui du logarithme.

4. La droite des moindres carrés est ŷ = 7x − 8,75.

5. Les résidus e = y − ŷ sont :

6. La représentation demandée place le rang en abscisse et le résidu en ordonnée :

7. Les résidus oscillent autour de zéro sans tendance monotone nette. Ils restent compris entre −3,25 et 2,75 départements : cela conforte l’ajustement sur les années observées. Toutefois, sa première valeur ajustée est négative, ce qui n’a pas de sens pour un dénombrement. Il faut donc éviter de prolonger ce modèle sans limite.

8. Puisque 2004 a le rang 1, 2013 a le rang 10. Le modèle donne 7 × 10 − 8,75 = 61,250 départements, soit environ 61 départements. C’est une estimation extrapolée selon le sujet, et non un bilan réel de présence du frelon en 2013.

Exercice 2 — Longueur de l’abdomen des abeilles

1. U = (L − 7)/0,9. Par linéarité, E(U) = (E(L) − 7)/0,9 = 0. Pour la variance, soustraire une constante ne change rien et diviser par 0,9 divise la variance par 0,9² : V(U) = 0,9²/0,9² = 1. Comme L est normale, U est normale centrée réduite.

2. P(L < 6) = Φ((6 − 7)/0,9) = Φ(−1,1111…) ≈ 0,133 au millième.

3. L’intervalle centré contenant 95 % des longueurs est 7 ± 1,96 × 0,9, soit [5,236 ; 8,764] mm, donc [5,24 ; 8,76] mm au centième. Il s’agit d’un intervalle de valeurs de L, pas d’un intervalle de confiance d’une moyenne estimée.

4. Garder les 20 % les plus grands revient à chercher le 80e centile : Φ((l₀ − 7)/0,9) = 0,80. Le quantile normal vaut environ 0,84162, donc l₀ = 7 + 0,9 × 0,84162 ≈ 7,76 mm.

Exercice 3 — Masse des pots de miel

1. Moyenne et variance estimées

Les centres des quatre classes sont 117,5 ; 122,5 ; 127,5 ; 132,5 g. La moyenne estimée est (20 × 117,5 + 100 × 122,5 + 120 × 127,5 + 60 × 132,5)/300 = 126,167 g.

En remplaçant chaque masse par son centre de classe, la variance descriptive vaut Σ nᵢ(cᵢ − x̄)²/300 = 18,222 g². L’estimateur corrigé de la variance de la population utilise le diviseur 299 : s² ≈ 18,283 g².

La phrase « uniformément réparties dans chaque classe » mérite une précision. Si elle est prise au sens d’une véritable loi uniforme continue sur chacune des classes de largeur 5 g, il faut ajouter leur variance interne 5²/12 = 2,083 g². La variance descriptive devient alors 20,306 g² et, avec la même correction d’effectif, l’estimation devient 20,373 g². Le calcul par centres est l’approximation usuelle des données groupées ; il sous-estime cette dispersion interne. La moyenne est identique dans les deux traitements.

2. Moyenne d’échantillon et intervalle à 99 %

2a. Sous le modèle normal du sujet et pour des pots prélevés indépendamment, la moyenne X̄ suit une normale de moyenne μ et de variance σ²/300, soit d’écart type σ/√300. Les paramètres de la population restent inconnus ; les estimations précédentes servent au calcul de l’intervalle.

2b. Pour un grand échantillon, l’intervalle à 99 % est approximativement x̄ ± 2,575829 × s/√300.

Avec la convention par centres et la variance corrigée 18,283 g², il donne [125,531 ; 126,803] g. Si l’on tient explicitement compte de la dispersion uniforme à l’intérieur des classes, avec 20,373 g², on obtient [125,495 ; 126,838] g. Les deux résultats sont donnés avec leur convention, afin de ne pas faire passer des masses connues seulement par classes pour des mesures individuelles exactes.