BTSA 2014 : corrigé de traitement de données, remplacement

Proposition de corrigé — non officielle. BTSA, toutes options, traitement de données, remplacement 2014, Métropole et Réunion, code 2014-BTS103-RPL-ME-RE. L’exercice de régression et les trois parties sur les oliviers sont traités.

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Exercice 1 — Pins parasités

1a. Pour les dix couples du tableau, le coefficient de corrélation vaut r ≈ −0,9971. Il indique une très forte liaison linéaire décroissante entre le rang de l’année et le nombre de pins atteints.

1b. La méthode des moindres carrés donne a ≈ −15,460606 et b ≈ 183,933333. Avec l’arrondi demandé au centième, la droite est ŷ = −15,46x + 183,93.

2a. On calcule chaque valeur ajustée avec cette équation, puis le résidu e = y − ŷ :

2b. Pour une régression des moindres carrés avec constante, la moyenne des résidus est nulle. Ici leur somme vaut 0, donc leur moyenne vaut 0/10 = 0. Les coefficients arrondis donnent, dans ce cas précis, la même propriété.

3. La disparition prévue correspond à ŷ ≤ 0 : −15,46x + 183,93 ≤ 0, soit x ≥ 11,897 environ. Le premier rang entier est 12. Comme 2001 a le rang 1, le modèle prévoit la disparition à partir de 2012. La droite extrapole une tendance : elle ne garantit pas une extinction réellement observée, et ses valeurs négatives ultérieures n’ont pas de sens biologique.

Exercice 2 — Oliviers

Partie A. Estimation et commercialisation

1a. L’estimation ponctuelle est 90/120 = 0,75, soit 75 %.

1b. Pour des reprises indépendantes, F est une proportion d’échantillon. On approche sa loi par une normale de moyenne p et de variance p(1 − p)/120. Les effectifs estimés de succès et d’échecs, 90 et 30, permettent cette approximation.

1c. L’intervalle usuel à 95 % est 0,75 ± 1,96√(0,75 × 0,25/120), soit environ [0,6725 ; 0,8275]. La proportion est estimée entre 67,25 % et 82,75 %.

2a. Chaque olivier constitue une épreuve à deux issues, de même probabilité de succès 0,75 ; les reprises sont indépendantes selon l’énoncé. Ainsi X suit B(300 ; 0,75).

2b. E(X) = 300 × 0,75 = 225. L’écart type vaut √(300 × 0,75 × 0,25) = 7,5.

2c. Les nombres attendus de succès et d’échecs, 225 et 75, sont grands. La loi peut être approchée par une normale de moyenne 225 et d’écart type 7,5.

2d. Avec correction de continuité, l’événement A, de 210 à 240 inclus, devient 209,5 ≤ Y ≤ 240,5. Sa probabilité vaut 2Φ(15,5/7,5) − 1 ≈ 0,9612, soit 96,12 %.

Plus de 80 % de 300 signifie strictement plus de 240, donc au moins 241. Pour B, on utilise P(Y > 240,5) = 1 − Φ(15,5/7,5) ≈ 0,01938, soit 1,94 %. Le seuil strict et la correction de continuité doivent être conservés.

Partie B. Nature du terrain : test du khi-deux

On teste H0 : le type de sol et la commercialisation sont indépendants, contre H1 : ils sont liés. Les totaux sont 50 oliviers dans chaque sol, 75 commercialisables et 25 non commercialisables, sur 100.

Sous H0, l’effectif attendu dans une case est total de ligne × total de colonne / total général :

Tous dépassent 5. La statistique est la somme des (observé − attendu)² / attendu : χ² ≈ 1,333. Le nombre de degrés de liberté est (2 − 1)(2 − 1) = 1. Au risque de 5 %, la valeur critique du tableau est 3,84.

Comme 1,333 < 3,84, on ne rejette pas H0. Ces données ne mettent pas en évidence une influence du terrain au seuil de 5 %. Elles ne prouvent pas que cette influence est inexistante.

Partie C. Hauteur moyenne

1. La moyenne de 25 hauteurs normales indépendantes suit une normale de moyenne 120 cm et d’écart type 7/√25 = 1,4 cm, soit de variance 1,96 cm².

2. P(X̄ < 116,5) = Φ((116,5 − 120)/1,4) = Φ(−2,5) ≈ 0,00621, soit environ 0,62 %.