BTSA 2015 : corrigé de traitement de données, juin

Proposition de corrigé — non officielle. BTSA, toutes options, traitement de données, session 2015, Métropole, Antilles, Guyane et Réunion, code 2015-BTS103-NOR-ME-AN-GU-RE. Les trois exercices sont traités.

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Exercice 1 — Fruits et légumes

1. Toutes les cases du tableau sont positives ou nulles. Leur somme est 1 : il s’agit bien d’une loi conjointe de probabilité.

2. Ne consommer ni fruit ni légume correspond à X = 0 et Y = 0. La case correspondante vaut 0.

3 et 5. On additionne les colonnes pour la loi de X et les lignes pour celle de Y :

Ainsi P(X = 0) = 0,11 et P(Y = 0) = 0,09. Chaque ligne de cette nouvelle table somme à 1.

4. Si X et Y étaient indépendantes, P(X = 0 et Y = 0) vaudrait 0,11 × 0,09 = 0,0099. Or cette probabilité vaut 0 dans le tableau. Les deux variables ne sont pas indépendantes.

6a et 6b. Z = X + Y compte le nombre total de variétés de fruits et légumes consommées la veille. Pour une valeur de Z, on additionne les cases dont les indices ont cette somme : par exemple P(Z = 2) = 0,03 + 0,12 + 0,05 = 0,20.

6c. P(Z ≥ 5) = 0,15 + 0,02 = 0,17. Dans cette enquête, 17 % des personnes ont consommé au moins cinq variétés au total.

7. E(Z) = 1 × 0,03 + 2 × 0,20 + 3 × 0,32 + 4 × 0,28 + 5 × 0,15 + 6 × 0,02 = 3,38. Cela représente une moyenne de 3,38 variétés par personne, et non une quantité entière consommée par chaque personne.

Exercice 2 — Proportion de personnes dépassant le seuil du sujet

Partie A. Estimation sur 1 000 personnes

1a. F est la moyenne de 1 000 indicatrices de succès : E(F) = p.

1b. Sous les hypothèses de l’énoncé, la loi de F est approximativement normale, de moyenne p et de variance p(1 − p)/1 000, donc d’écart type √(p(1 − p)/1 000). L’approximation convient lorsque les nombres attendus de succès et d’échecs sont suffisamment grands.

2. La fréquence observée est f = 0,168. L’intervalle de confiance usuel à 95 % est f ± 1,96√(f(1 − f)/1 000). On trouve [0,1448275 ; 0,1911725], soit, au millième, [0,145 ; 0,191]. La proportion est estimée entre environ 14,5 % et 19,1 %.

Partie B. Probabilité fixée à 0,17

1. La probabilité d’un échec est 0,83. Pour dix prélèvements indépendants, la probabilité de dix échecs vaut 0,83¹⁰ ≈ 0,15516, soit 0,16 au centième.

2a. Le nombre de succès parmi 200 individus suit B(200 ; 0,17).

2b. L’espérance vaut 34, la variance 28,22 et l’écart type √28,22 ≈ 5,31225. Les effectifs attendus 34 et 166 sont grands : l’approximation normale est adaptée.

2c. Pour inclure les valeurs entières de 30 à 40, la correction de continuité donne P(29,5 ≤ Y ≤ 40,5). Après centrage-réduction, la probabilité est Φ((40,5 − 34)/5,31225) − Φ((29,5 − 34)/5,31225) ≈ 0,69098, soit 0,69 au centième. La somme binomiale exacte, environ 0,68772, donne le même arrondi.

Exercice 3 — Consommation de pain

1. Ajustement direct

Le coefficient de corrélation de T et M vaut r ≈ −0,933. La liaison est décroissante, mais le graphique montre une diminution qui ralentit : les points suivent une courbe. La droite passe sous les derniers points et conduirait ensuite à des masses négatives. Cet ajustement direct convient mal.

2. Ajustement après logarithme

2a. Pour Z = ln(M), on trouve r(T,Z) ≈ −0,982. Sa valeur absolue est plus proche de 1, ce qui indique un meilleur alignement après cette transformation.

2b. La régression de Z en T donne ẑ = −0,0181120611t + 6,7099205686. Les coefficients demandés au millième s’écrivent −0,018 et 6,710, mais on conserve davantage de chiffres pour la prévision.

2c. En prenant l’exponentielle, m ≈ exp(6,7099205686 − 0,0181120611t). Ce modèle conserve une masse positive et traduit un ralentissement de la baisse en grammes.

2d. En 1935, t = 1935 − 1900 = 35. Avec les coefficients non arrondis, on obtient m ≈ 435,284 g par jour et par adulte. Il s’agit d’une estimation interpolée entre les observations, pas d’une valeur historique directement relevée.