CAPa 2016 : corrigé de mathématiques, remplacement
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Proposition de corrigé — non officielle. CAP agricole, toutes options, remplacement 2016, Métropole, Réunion et Mayotte, traitement de données mathématiques, 1 h 30.
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Exercice 1 : tarifs des plants de tomates
1 à 3. Prix et tableaux de valeurs
Le tarif 1 ne comporte pas de carte : g(x) = 8x. Le tarif 2 comprend la carte annuelle de 60 €, plus 5 € par lot : f(x) = 60 + 5x. La carte n’est comptée qu’une fois pour les achats de la même année.
| Nombre de lots x | Tarif 1 : g(x) | Tarif 2 : f(x) |
|---|---|---|
| 10 | 80 € | 110 € |
| 20 | 160 € | 160 € |
| 30 | 240 € | 210 € |
4. Construire les droites
La droite de g passe par (0 ; 0), (10 ; 80), (20 ; 160). Celle de f passe par (0 ; 60), (10 ; 110), (20 ; 160). Le sujet impose 1 carreau pour 2 lots et 1 carreau pour 20 €. L’intersection est (20 ; 160) : les tarifs sont identiques pour vingt lots.
5. Choisir le tarif
a. Pour dix lots, tarif 1 : 80 € contre 110 €. b. Pour trente lots, tarif 2 : 210 € contre 240 €. c. Avec 180 €, le graphique donne 22,5 lots au tarif 1, contre 24 lots au tarif 2. Comme les lots sont entiers, cela correspond à 22 lots contre 24 : le tarif 2 permet d’acheter davantage.
6. Nombre maximal de plants
Après la carte, il reste 180 − 60 = 120 €. On peut acheter 120/5 = 24 lots, soit 24 × 6 = 144 plants. La comparaison s’entend ici pour un client qui doit encore acheter sa carte annuelle.
Exercice 2 : factures de l’horticulteur
1. Le caractère étudié est le montant en euros d’une facture. 2. Il est quantitatif, traité ici comme continu et regroupé en intervalles ; les sommes sont, en pratique, exprimées au centime.
3. Il y a 200 factures. Dans [40 ; 60[, la fréquence de 15 % donne 30 factures. Les centres sont les milieux des bornes.
| Montant | Nombre nᵢ | Fréquence | Centre xᵢ | Produit nᵢxᵢ |
|---|---|---|---|---|
| [0 ; 20[ | 60 | 30 % | 10 | 600 |
| [20 ; 40[ | 94 | 47 % | 30 | 2 820 |
| [40 ; 60[ | 30 | 15 % | 50 | 1 500 |
| [60 ; 80[ | 16 | 8 % | 70 | 1 120 |
| Total | 200 | 100 % | — | 6 040 |
4. Avec les centres de classes, la moyenne estimée est 6 040/200 = 30,20 €. Le montant exact des factures n’étant pas fourni, cette moyenne est une approximation.
5. Les factures de montant strictement inférieur à 40 € sont dans les deux premières classes : (60 + 94)/200 × 100 = 77 %.
6. Les classes ont toutes une largeur de 20 €. L’histogramme comporte quatre rectangles contigus de hauteurs 60, 94, 30 et 16. L’axe horizontal indique le montant des factures en euros ; l’axe vertical, leur nombre. Le rectangle déjà dessiné dans l’annexe correspond à [20 ; 40[.
Exercice 3 : terrasse
1. La figure 1 est un triangle rectangle en E ; la figure 2 est un rectangle ABCD.
2. Dans AED, AD est l’hypoténuse : AD² = AE² + ED² = 8² + 6² = 100. Donc AD = 10 m.
3. A₁ = AE × ED/2 = 8 × 6/2 = 24 m². Les côtés de 8 et 6 m sont perpendiculaires.
4. A₂ = AB × BC = 13,5 × 10 = 135 m².
5. Le diamètre du demi-disque est BC = 10 m, donc son rayon vaut 5 m. A₃ = π × 5²/2 = 12,5π ≈ 39,3 m² à 0,1 près.
6. A_T = 24 + 135 + 39,3 = 198,3 m² avec l’arrondi demandé. Avec π non arrondi, on obtient 198,2699… m², qui s’arrondit également à 198,3.
7. Le devis demandé utilise l’aire admise de 198,3 m² : 198,3 × 45 = 8 923,50 €. Il n’y a pas d’autre poste, taux de taxe ou marge à ajouter dans les données de cet exercice.