CAPES externe de philosophie 2020 : corrigé du texte de Diderot sur les deux géométries

Proposition de correction non officielle. La seconde épreuve écrite du CAPES et du CAFEP externes de philosophie 2020 demandait d’expliquer un passage de l’article « Art » de l’Encyclopédie, attribué à Diderot. Le texte examine ce que les mathématiques enseignent aux artisans, ce qu’elles ne peuvent déterminer seules et pourquoi la construction des machines exige aussi un savoir élaboré dans l’expérience. Le rapport du jury précise que les épreuves écrites ont bien été administrées et ont servi à l’admission cette année-là.

Sujet officiel · Rapport du jury · Annales du CAPES

Le problème du texte

Une machine peut être décrite par un dessin, des rapports entre ses parties et des calculs de forces. Pourtant, la machine construite peut produire un effet tout différent. Faut-il en déduire que le savoir de l’atelier se passe de mathématiques ? Diderot refuse cette conclusion autant que la confiance exclusive accordée au modèle : il parle de deux géométries, l’une « intellectuelle », l’autre « expérimentale et manouvrière ». Le mot commun indique que l’artisan ne procède pas au hasard. Il mesure, compare, règle et raisonne ; il le fait au contact de matériaux et de circonstances que le calcul abstrait ne peut intégrer complètement.

Le passage progresse d’une difficulté générale — l’écart entre modèle et fabrication — vers un problème qui la rend particulièrement visible : la taille à laquelle une machine fonctionne et donne son meilleur effet. Sa thèse est que l’on peut approcher une bonne solution par une longue expérience technique aidée de l’analyse mathématique, sans obtenir une détermination exacte et définitive par l’une ou l’autre séparément. La géométrie expérimentale garde ici l’initiative : elle pose les problèmes concrets et éprouve les solutions.

Les mathématiques nécessaires peuvent devenir trompeuses

Diderot accorde d’abord qu’il y a « peu d’artistes » auxquels les éléments mathématiques ne soient nécessaires. Artiste désigne ici largement la personne qui exerce un art de fabrication, et non le seul créateur d’œuvres esthétiques. Un constructeur doit calculer des longueurs, des angles, des rapports de forces ; contester la suffisance du calcul ne revient donc pas à nier son utilité. C’est pourquoi le paradoxe qui suit a une portée précise : ces mêmes éléments pourraient nuire à l’artisan s’ils étaient appliqués sans connaissances physiques capables d’en « corriger les préceptes dans la pratique ».

La longue énumération des lieux, positions, figures irrégulières, matières, frottements, températures ou effets de l’eau montre ce qu’une règle générale risque de laisser de côté. Les conditions ne sont pas seulement nombreuses : elles diffèrent selon la pièce fabriquée, son milieu et son usage. Le mot corriger ne signifie pas effacer la règle mathématique. Il signifie ajuster son application à la situation réelle. Le matériau d’un câble, l’état d’un axe et l’humidité de l’air peuvent modifier le résultat d’un dispositif pourtant correctement dessiné.

Diderot inverse alors une hiérarchie attendue : les éléments de la géométrie de l’Académie sont « les plus simples et les moins composés » de ceux de la « géométrie des boutiques ». L’Académie peut isoler quelques rapports et les traiter avec rigueur ; l’atelier doit affronter leur composition avec des facteurs supplémentaires. Sa géométrie n’est pas inférieure parce qu’elle serait imprécise par principe. Son objet est plus chargé de conditions. La simplicité du modèle est une puissance pour comprendre, mais elle devient un défaut lorsqu’on la prend pour la totalité du réel.

Le levier étudié par Varignon rend l’objection tangible. Un levier idéal permet d’analyser la composition des forces. Aucun levier naturel, affirme Diderot, ne satisfait exactement ces hypothèses : son axe frotte, ses parties fléchissent ou pèsent, la matière résiste. La cible n’est donc pas une mathématique « pure » étrangère à la mécanique. C’est l’idée que la mécanique rationnelle pourrait faire entrer toutes les conditions d’un dispositif réel dans un calcul. Même un calcul capable de traiter de très petites différences ne suffit pas si certaines conditions essentielles ne sont pas mesurables avec la précision requise ou échappent à la formulation disponible. Le texte ne démontre pas que tout calcul des frottements est impossible à jamais ; il affirme les limites de la détermination qu’on peut obtenir ici par le calcul seul.

Deux géométries, deux insuffisances

La double figure de l’homme « maladroit » et de l’ouvrier « borné » interdit de choisir simplement un camp. Celui qui ne possède que la géométrie intellectuelle sait établir des relations sur le papier, mais peut manquer le geste et la résistance des choses. L’artisan qui ne possède que la géométrie expérimentale peut réussir des opérations connues sans étendre suffisamment ses moyens de conception. Les deux géométries sont des savoirs ; chacune devient insuffisante lorsqu’elle est isolée.

Diderot ne les met pourtant pas à égalité pour la fabrication. Selon lui, un artisan se passe plus facilement de la géométrie intellectuelle qu’un homme, quel qu’il soit, d’une certaine géométrie expérimentale. La raison se lit dans l’exemple des frottements. Il faut constater comment un mécanisme résiste et perd de la puissance pour savoir ce qu’il pourra faire. Une personne instruite des lois du levier qui ignore la résistance de l’axe peut proposer une machine inefficace. À l’inverse, l’expérience répétée des matériaux et des assemblages permet déjà à un artisan d’éviter nombre d’erreurs, même lorsque la théorie lui manque.

La formule « cette connaissance seule » ouvre une nuance : elle peut renvoyer particulièrement au savoir expérimental des frottements qui vient d’être cité, ou plus largement au savoir d’atelier dont les frottements fournissent l’exemple. Dans les deux cas, la question de Diderot souligne l’étendue de son efficacité, sans en faire un savoir omnipotent. La série des leviers, roues, poulies et câbles imaginés « comme sur un papier » montre le défaut opposé : croire qu’un assemblage matériel agit comme son profil dessiné. La comparaison entre les effets d’une machine et ceux de son profil frappe juste parce qu’un plan peut être exact dans ses rapports et insuffisant pour prédire son fonctionnement. « Mettre la main à l’œuvre » est ici une condition de connaissance, non une célébration du geste sans pensée.

La taille des machines révèle ce que le plan ne donne pas

La seconde observation prolonge l’argument au lieu d’ouvrir un sujet étranger. Certaines machines réussissent en petit et échouent en grand ; d’autres font l’inverse. Si le dessin conservait les mêmes proportions, pourquoi le résultat changerait-il ? Parce que l’effet d’une machine dépend aussi de sa dimension absolue et des propriétés physiques qu’elle met en jeu. Une réduction du dessin n’est pas une reproduction à l’identique de toutes ses conditions d’action.

Diderot explique surtout le cas des machines qui ne réussissent qu’en grand. Si leur effet dépend du poids considérable des pièces, de la forte réaction d’un fluide ou d’une masse importante de matière élastique, leur réduction peut faire disparaître la puissance motrice attendue. Une pendule entraînée par un poids en donne une idée : à une échelle trop petite, le poids peut ne plus suffire à vaincre les résistances du mécanisme. Une machine hydraulique peut pareillement perdre l’effet attendu si le volume et la pression du fluide deviennent insuffisants. Ces exemples illustrent une dépendance physique ; ils ne prétendent pas que toute pendule ou toute machine hydraulique échouerait nécessairement en petit.

Le cas inverse est annoncé sans être développé dans le passage. On peut l’éclairer par une montre dont les petites pièces doivent rester légères : un agrandissement peut accroître le poids et les frottements, déformer un pivot ou dégrader la précision. Ce qui fonctionnait à petite échelle ne conserve donc pas automatiquement son rendement lorsque les dimensions augmentent. Le problème ne se réduit pas à la quantité de travail produite : pour une montre, l’effet recherché peut être la régularité ou la durée de marche. La taille pertinente dépend de la fonction assignée à l’objet.

Diderot distingue ensuite deux seuils. À certaines dimensions, la machine ne produit plus d’effet du tout. À d’autres, elle fonctionne encore, mais ne produit pas le plus grand effet dont elle serait capable. Le premier seuil concerne la possibilité de fonctionnement ; le second, la recherche d’un optimum. Lorsqu’il évoque un « maximum de dimensions », il ne propose pas une taille universelle que suffirait à livrer une formule. Il nomme le problème de la taille où, pour une machine déterminée, l’agencement matériel et l’usage visé donnent le meilleur résultat accessible. Un moulin doit moudre selon une certaine puissance et avec certaines matières ; un vaisseau doit naviguer dans des conditions définies. Dire seulement qu’ils doivent être « assez grands » manquerait la question de leurs performances concrètes.

La phrase qui compare chaque partie à la machine entière demande enfin de distinguer deux niveaux. Les dimensions d’une pièce par rapport aux autres pièces relèvent des rapports internes ou des proportions du mécanisme. La dimension de la machine entière, rapportée à la matière, à l’usage et à « une infinité d’autres causes », soulève une autre question : celle de son échelle réelle. Un plan peut conserver les proportions des engrenages tout en changeant la taille de tous les composants. Or ce changement modifie poids, frottements et résistance. La distinction entre proportions et taille permet ainsi de comprendre pourquoi la mécanique rationnelle, même utile pour le premier niveau, ne règle pas à elle seule le second.

Une solution approchée, travaillée par deux savoirs

Diderot demande quelle serait la dimension « véritable et absolue » d’une montre excellente, d’un moulin parfait ou d’un vaisseau construit le mieux possible. Le caractère absolu de la question ne doit pas faire oublier la diversité de ses critères : matériaux, fins poursuivies, milieu et autres causes interviennent ensemble. L’optimum ne se découvre pas par l’inspection d’un dessin idéal. Il faut fabriquer, essayer, comparer les effets et transmettre les résultats, parfois pendant plusieurs siècles. Cette durée explique pourquoi la géométrie expérimentale est une connaissance cumulative, et non une improvisation personnelle.

Elle doit néanmoins être « aidée de la géométrie intellectuelle la plus déliée ». Les concepts et calculs les plus fins permettent de comparer des hypothèses, de comprendre pourquoi un changement de taille modifie un effet et de concevoir de nouvelles formes. Leur finesse les rend utiles à une recherche qu’ils ne gouvernent pas seuls. La formulation de Diderot garde une asymétrie : c’est la géométrie expérimentale et manouvrière qui donne la solution approchée, aidée par l’autre. L’atelier éprouve le résultat et découvre les difficultés ; l’analyse intellectuelle éclaire et étend ce travail.

La dernière proposition prévient toute conclusion facile. Une solution satisfaisante est impossible lorsque les deux géométries sont séparées et « très difficile » même lorsqu’elles sont réunies. L’accord des savoirs ne supprime ni la multiplicité des causes ni les limites de la prévision. Il permet une amélioration raisonnée plutôt qu’une perfection garantie. Le texte reconnaît ainsi la dignité intellectuelle de l’art technique tout en lui imposant une exigence : ne pas confondre le succès d’une machine donnée avec une science définitivement achevée de toutes les machines possibles.

Conclusion

Diderot part d’un paradoxe : des mathématiques nécessaires à l’artisan peuvent le tromper lorsqu’elles prétendent suffire à la construction. Il établit alors que la géométrie de l’atelier possède sa rigueur propre, parce qu’elle met en relation les données nombreuses et variables des choses fabriquées. Le levier idéal et les frottements montrent les limites d’un modèle isolé ; les machines qui changent d’effet avec leur taille révèlent l’enjeu particulier de leur dimension réelle, distincte de leurs proportions. La meilleure machine ne se déduit ni du papier seul ni de l’habitude seule : on l’approche par une expérience technique longue, instruite par les mathématiques et toujours mise à l’épreuve des effets.