Corrigé contrôleur DGCCRF 2024 : mathématiques

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Proposition de corrigé — non officielle. Concours externe à dominante scientifique et technologique, session des 6 et 7 juin 2024, épreuve 2, option mathématiques. Durée : trois heures ; coefficient 2. Les quatre exercices sont intégralement traités.

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Exercice 1 — Deux villes en croissance, 5 points

1. Populations en 2011

Une hausse de 2 % multiplie la population par 1,02. Pour A : 4 600 × 1,02 = 4 692 habitants. Pour B, on ajoute 110 : 5 100 + 110 = 5 210 habitants.

2. Nature des suites

uₙ₊₁ = 1,02uₙ : (uₙ) est géométrique, de raison 1,02 et de premier terme u₀ = 4 600.

vₙ₊₁ = vₙ + 110 : (vₙ) est arithmétique, de raison 110 et de premier terme v₀ = 5 100.

3 et 4. Expressions et populations en 2020

Pour tout n naturel : uₙ = 4 600 × 1,02ⁿ et vₙ = 5 100 + 110n.

2020 correspond à n = 10. Le modèle donne u₁₀ ≈ 5 607,374, soit 5 607 habitants après arrondi à l’unité, et v₁₀ = 6 200 habitants. Il est préférable de garder la valeur non arrondie pour les calculs suivants.

5. Quand A dépasse-t-elle B ?

Il faut résoudre, avec n entier naturel : 4 600 × 1,02ⁿ > 5 100 + 110n. Un tableau de valeurs obtenu à la calculatrice permet de chercher le premier rang satisfaisant cette inéquation.

Pour justifier qu’il s’agit bien du premier dépassement, posons dₙ = uₙ − vₙ. Alors dₙ₊₁ − dₙ = 0,02uₙ − 110. Cette différence croît avec n : dₙ diminue d’abord, puis augmente. Comme d₀ = −500, la première solution se situe sur la partie croissante. Les valeurs encadrant le dépassement sont données ci-dessous.

Les valeurs non arrondies sont u₃₁ ≈ 8 498,909 et u₃₂ ≈ 8 668,887. Le premier rang est donc n = 32, et le premier dépassement se produit en 2042.

Exercice 2 — Nombres complexes, 5 points

Affirmation 1 — Fausse

z − i = i(z + 1) équivaut à (1 − i)z = 2i, donc z = −1 + i. Son module est √2 et un argument est 3π/4. La valeur proposée, √2e^(iπ/4) = 1 + i, ne convient pas.

Affirmation 2 — Fausse

1 + e^(2ix) = e^(ix)(e^(−ix) + e^(ix)) = 2cos(x)e^(ix). Sur l’intervalle indiqué, cos(x) > 0. La forme exponentielle correcte a donc pour argument x, et non −x. Par exemple, à x = π/4, le nombre vaut 1 + i ; l’expression proposée vaut 1 − i.

Affirmation 3 — Vraie

En écrivant z = x + iy et en élevant les modules au carré :

x² + (y − 1)² = (x + 1)² + y², donc y = −x.

Cette égalité est exactement l’équation proposée. La droite est la médiatrice du segment joignant les points d’affixes i et −1.

Affirmation 4 — Fausse

Pour z réel, la partie imaginaire de z⁵ + z − i + 1 vaut toujours −1. Le nombre ne peut pas être nul. L’équation n’admet aucune solution réelle.

Affirmation 5 — Fausse

La formule d’Euler donne c = (1/2)(cos(π/3) + i sin(π/3)), soit c = (1/4)(1 + i√3). L’expression proposée avec un signe moins est son conjugué.

Exercice 3 — Contrôle des aiguilles, 5 points

1 et 2. Probabilités et arbre

P(A) = 0,75 et P(B) = 0,25. Dans l’arbre, la branche notée Ā correspond à B, puisque les deux sites constituent toute la production.

3. Défaut provenant de A

On multiplie les probabilités le long d’un chemin : P(A ∩ D) = 0,75 × 0,02 = 0,015, soit 1,5 %.

4. Probabilité d’un défaut

Les provenances A et B forment une partition. La formule des probabilités totales donne P(D) = 0,75 × 0,02 + 0,25 × 0,04 = 0,025, soit 2,5 %.

5. Provenance d’une aiguille défectueuse

La probabilité demandée est P(A | D) = P(A ∩ D)/P(D) = 0,015/0,025 = 0,6, soit 60 %. Elle diffère de P(D | A) : connaître le défaut change la répartition des provenances.

Exercice 4 — Dérivée, graphique et aire, 5 points

1. Dérivée

Pour h(x) = −x³ + 30x² − 108x − 490, on obtient h′(x) = −3x² + 60x − 108 = −3(x − 2)(x − 18).

2. Tangente en zéro

La tangente a pour équation y = h′(0)x + h(0), soit y = −108x − 490.

3. Variations sur [0 ; 26]

h′ est négative avant 2, positive entre 2 et 18, puis négative après 18. Les valeurs sont h(0) = −490, h(2) = −594, h(18) = 1 454 et h(26) = −594.

4. Identification des courbes

C = C₂, la courbe rouge, représente h : elle passe par (0 ; −490) et possède un minimum en 2 et un maximum en 18. C′ = C₁, la parabole bleue, représente h′ : elle s’annule en 2 et en 18 et est tournée vers le bas. La courbe noire en pointillés C₃ n’est ni h ni h′.

5. Aire

Sur [2 ; 18], C₁ représente h′ et se situe au-dessus de l’axe des abscisses. L’aire est donc l’intégrale de h′ :

A = ∫₂¹⁸ h′(x) dx = h(18) − h(2) = 1 454 − (−594) = 2 048 unités d’aire.

Il ne faut pas intégrer h, qui correspond à C₂, ni ajouter une unité physique absente du repère.