Corrigé DAEU A UPPA 2024 : mathématiques

Proposition de corrigé — non officielle. DAEU A — UPPA — Mathématiques — session 2024. Toutes les questions du sujet sont traitées.

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Exercice 1 : fractions et racines

Le numérateur de a vaut (7/9) × (2/5) = 14/45. Son dénominateur est 7/5 − 2/3 = 21/15 − 10/15 = 11/15. Donc a = (14/45) × (15/11) = 14/33, fraction irréductible. Comme a ≈ 0,42424, sa valeur au dixième est 0,4 et sa partie entière 0.

√8 = 2√2, donc b = 4/(2√2) = 2/√2 = √2 après rationalisation.

Pour c = √20/(1 − √20), on multiplie par 1 + √20 : c = (√20 + 20)/(1 − 20). Comme √20 = 2√5, c = −(20 + 2√5)/19.

Exercice 2 : calcul littéral

1. Expression A

(2x − 5y) − 3y + x = 3x − 8y. Ainsi A = −(x − (3x − 8y)) = −(−2x + 8y) = 2x − 8y.

2. Expression B

(x + z)(x + 2y) = x² + 2xy + xz + 2yz. Par différence de deux carrés, (x + y + z)(x + y − z) = (x + y)² − z² = x² + 2xy + y² − z². En soustrayant : B = xz + 2yz − y² + z².

3. Expression C

5x − 5 = 5(x − 1). Donc C = (x − 1)[(3x − 4) + 5(x − 4)] = (x − 1)(8x − 24) = 8(x − 1)(x − 3).

4. Expression D

x² − 4 = (x − 2)(x + 2). D = (x + 2)[(x + 2) − (x − 2)] = 4(x + 2).

5. Expression E

E = −4(x² − 3x + 2) = −4(x − 1)(x − 2). On peut aussi compléter le carré : E = 1 − (2x − 3)², puis utiliser la différence de deux carrés. Le développement de cette forme redonne bien −4x² + 12x − 8.

Exercice 3 : équations et inéquation

1. x − 3 = (7/5)x − 5 donne 2 = (2/5)x, donc x = 5.
2. x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2) = 0 : solutions 1 et −2.
3. 3x² − 4 = (x + 2)² donne 2x² − 4x − 8 = 0, puis x² − 2x − 4 = 0. Le discriminant vaut 20, donc les solutions sont 1 − √5 et 1 + √5.
4. −3x² + x + 2 = −(3x + 2)(x − 1). Les racines sont −2/3 et 1 ; le coefficient dominant est négatif. Le trinôme est strictement négatif à l’extérieur des racines. Solution : ]−∞ ; −2/3[ ∪ ]1 ; +∞[. Les racines sont exclues puisque l’inégalité est stricte.

Exercice 4 : système

2x + y = 6 donne y = 6 − 2x. En remplaçant dans −x + 2y = 2 : −x + 12 − 4x = 2, donc x = 2, puis y = 2. Solution : (2 ; 2). Elle vérifie 4 + 2 = 6 et −2 + 4 = 2.

Exercice 5 : longueurs du train

Si x est la longueur d’une locomotive et y celle d’un wagon-citerne, en mètres, le train de deux locomotives et dix wagons donne 2x + 10y = 152. Après le retrait d’une locomotive et l’ajout de deux wagons, on obtient x + 12y = 160.

La seconde équation donne x = 160 − 12y. Dans la première : 320 − 24y + 10y = 152, donc 14y = 168. Un wagon-citerne mesure 12 m et une locomotive 16 m. Vérification : 2 × 16 + 10 × 12 = 152 m et 16 + 12 × 12 = 160 m.

Exercice 6 : corde et triangles semblables

1. Longueurs TH et CH

Thomas fait 20 pas de 0,375 m chacun : TH = 20 × 0,375 = 7,5 m.

CH : erreur dans la valeur demandée

Le triangle THC est rectangle en H et TC = 15 m. Par Pythagore, CH² = TC² − TH² = 15² − 7,5² = 168,75 = 675/4. Donc CH = 15√3/2 m, environ 12,99 m.

L’énoncé demande de montrer CH = 5√3/2. Cette valeur est incompatible avec TC = 15 m et TH = 7,5 m. Sur la copie, il faut signaler cette erreur et poursuivre avec 15√3/2 : on ne peut pas démontrer l’égalité erronée à partir des données.

2. Longueur TE

Les triangles TEF et TCH sont semblables, puisque les droites EF et CH sont parallèles et que les points sont alignés comme sur la figure. Ainsi TE/TC = EF/CH. Avec EF = 13,5 m : TE = 15 × 13,5 / (15√3/2) = 27/√3 = 9√3 m, soit environ 15,59 m. Cette réponse utilise la longueur CH corrigée à la question précédente.

Exercice 7 : droites

1 et 2. Représentation et équation

D a pour équation y = 2x − 3 : elle passe par (0 ; −3) et (2 ; 1). D′ a une pente de −1/2 et passe par A(4 ; 0). En écrivant y = −x/2 + b, on obtient 0 = −2 + b, donc D′ : y = −x/2 + 2. Elle passe par (0 ; 2) et (4 ; 0).

3 et 4. Orthogonalité et intersection

Le produit des coefficients directeurs vaut 2 × (−1/2) = −1 : les droites sont perpendiculaires dans ce repère orthonormé. Pour l’intersection, 2x − 3 = −x/2 + 2 donne (5/2)x = 5, donc x = 2 et y = 1. Point commun : (2 ; 1).

Exercice 8 : statistiques

La variable est la note sur 20, quantitative discrète. L’effectif total est 30.

Les 15e et 16e valeurs ordonnées se trouvent dans le groupe de note 12, qui va de la 13e à la 18e place. La médiane vaut donc 12. La moyenne est 361/30 ≈ 12,03.

La variance est V = 4 811/30 − (361/30)² = 14 009/900 ≈ 15,57. L’écart-type est √V ≈ 3,95 points. Les colonnes n × x et n × x² permettent de calculer ces grandeurs sans compter chaque note plusieurs fois à la main.