Corrigé DAEU A UPPA 2025 : mathématiques
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Proposition de corrigé — non officielle. DAEU A — UPPA — Mathématiques — session 2025. Toutes les questions du sujet sont traitées.
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Exercice 1 : fractions et racines
Pour a, le numérateur est (11/3) × (2/5) = 22/15. Le dénominateur est 5/6 − 2/3 = 5/6 − 4/6 = 1/6. Donc a = (22/15) ÷ (1/6) = 44/5. La fraction est irréductible ; sa valeur au dixième est 8,8 et sa partie entière 8.
Comme √27 = 3√3, b = 6/(3√3) = 2/√3. En multipliant en haut et en bas par √3, on obtient b = 2√3/3.
Pour c, on multiplie par le conjugué du dénominateur : c = 2√10(1 + √10) / ((1 − √10)(1 + √10)) = (2√10 + 20)/(1 − 10). Ainsi c = −(20 + 2√10)/9.
Exercice 2 : calcul littéral
1. Réduire A
La parenthèse intérieure vaut (x − 7y) − 2y + x = 2x − 9y. Donc A = −(x − (2x − 9y)) = −(−x + 9y) = x − 9y.
2. Développer B
Le premier produit vaut x² + 2xy + 2xz + 4yz. Le second vaut x² + 3xy + 2y² + yz − z² : ses termes −xz et +xz se compensent. En soustrayant tous les termes du second : B = 2xz + 3yz − xy − 2y² + z². Le signe moins devant le produit change chacun de ses signes.
3. Factoriser C
2x − 2 = 2(x − 1), donc C = (x − 1)[(3x − 4) + 2(x − 3)] = (x − 1)(5x − 10) = 5(x − 1)(x − 2).
4. Factoriser D
x² − 4 = (x − 2)(x + 2). On met x + 2 en facteur : D = (x + 2)[(x + 2) − (x − 2)] = 4(x + 2).
5. Factoriser E
Pour −x² + x + 2 = 0, le discriminant est 1 − 4 × (−1) × 2 = 9. Les racines sont −1 et 2. En gardant le coefficient dominant −1 : E = −(x + 1)(x − 2).
Exercice 3 : équations et inéquation
- x − 2 = (6/5)x − 3 donne 1 = x/5, donc x = 5.
- x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3). Les solutions sont −3 et 1.
- En développant le membre de droite, 2x² − 8 = x² + 4x + 4 devient x² − 4x − 12 = 0, soit (x − 6)(x + 2) = 0. Solutions : −2 et 6.
- x² − 2x ≥ 3 équivaut à (x − 3)(x + 1) ≥ 0. Le produit est positif ou nul à l’extérieur des deux racines. Solution : ]−∞ ; −1] ∪ [3 ; +∞[.
Exercice 4 : système
On multiplie 2x + 5y = 85 par 3 : 6x + 15y = 255. On multiplie 3x + 7y = 2 par 2 : 6x + 14y = 4. La soustraction donne y = 251, puis 2x = 85 − 5 × 251 = −1 170, donc x = −585.
Les valeurs sont grandes mais satisfont bien le système : −1 170 + 1 255 = 85 et −1 755 + 1 757 = 2.
Exercice 5 : canoës
Le nombre total donne x + y = 45 ; la recette donne 25x + 29y = 1 193. On remplace x par 45 − y : 1 125 + 4y = 1 193. Ainsi y = 17 canoës à trois places et x = 28 canoës à deux places. Vérification : 28 × 25 + 17 × 29 = 700 + 493 = 1 193 €.
Exercice 6 : longueur de la chaîne
Le trajet demandé contourne l’extrémité du mur : AB + BB′ + B′D. Les triangles rectangles du schéma donnent AB = √(15² + 2²) = √229 et B′D = √(15² + 5²) = √250.
La longueur nécessaire est donc √229 + 0,2 + √250 ≈ 31,14 m. Elle est inférieure aux 33 m de chaîne : Melba peut atteindre l’os dans la situation géométrique du sujet, avec environ 1,86 m de longueur restante.
Exercice 7 : deux droites
1 et 2. Construction et équation
Pour D, on peut placer (0 ; 3) et (6 ; 0). Pour D′, la pente est 2 et A(3 ; 3) appartient à la droite. En écrivant y = 2x + b : 3 = 6 + b, donc b = −3. D′ a pour équation y = 2x − 3 ; elle passe aussi par (0 ; −3).
3. Orthogonalité
Dans le repère orthonormé, les coefficients directeurs ont pour produit (−1/2) × 2 = −1. Les deux droites sont donc perpendiculaires.
4. Intersection
On résout −x/2 + 3 = 2x − 3. Cela donne (5/2)x = 6, donc x = 12/5. Puis y = 2 × 12/5 − 3 = 9/5. Le point commun est (12/5 ; 9/5), soit (2,4 ; 1,8).
Exercice 8 : statistiques
La variable est la note sur 20, quantitative discrète. L’effectif total est 30.
| Note x | Effectif n | Effectif cumulé | n × x | n × x² |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 3 | 3 | 18 | 108 |
| 7 | 3 | 6 | 21 | 147 |
| 9 | 4 | 10 | 36 | 324 |
| 11 | 2 | 12 | 22 | 242 |
| 12 | 6 | 18 | 72 | 864 |
| 14 | 5 | 23 | 70 | 980 |
| 16 | 3 | 26 | 48 | 768 |
| 17 | 2 | 28 | 34 | 578 |
| 20 | 2 | 30 | 40 | 800 |
| Total | 30 | — | 361 | 4 811 |
Les 15e et 16e notes de la série ordonnée valent toutes deux 12 : médiane = 12. La moyenne pondérée vaut 361/30 ≈ 12,03.
La variance de cette série est V = (Σn × x²)/30 − (361/30)² = 4 811/30 − (361/30)² = 14 009/900 ≈ 15,57. L’écart-type vaut √V ≈ 3,95 points. On utilise la variance descriptive avec le diviseur 30, pas une estimation avec 29.
Exercice 9 : verre conique
IF = IR + RF = 1 + 3 = 4 cm. Les droites RS et FG sont parallèles et les deux triangles IRS et IFG ont le même sommet I. Par le théorème de Thalès, RS/FG = IR/IF = 1/4. Donc RS = 3/4 = 0,75 cm.
IF et FG sont perpendiculaires sur la coupe du verre. L’aire du triangle IFG vaut IF × FG / 2 = 4 × 3 / 2 = 6 cm². On calcule l’aire du triangle demandé, et non le volume du cocktail.