Corrigé ENS Lyon, second concours 2011 : physique

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Proposition de corrigé — non officielle. Second concours de l’ENS de Lyon, session 2011, physique, épreuve de trois heures. L’exercice d’écoulement et les 18 questions du problème de diffusion thermique sont traités.

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Partie I — Écoulement fluvial et torrentiel

I.1. Fluide parfait

Un fluide parfait est un modèle sans viscosité, donc sans contraintes tangentielles visqueuses ni dissipation correspondante. Cela ne signifie pas qu’il est nécessairement incompressible : cette propriété est une hypothèse distincte, fournie ici.

I.2. Relation de Bernoulli

Pour un écoulement stationnaire de fluide parfait incompressible, soumis à la pesanteur, sans apport mécanique entre les points, P + ρgz + ρv²/2 est constant le long d’une ligne de courant. L’altitude z doit être mesurée depuis un même niveau de référence. La relation n’est pas un bilan valable sans précaution à travers un ressaut dissipatif.

I.3. Vitesse en aval

La surface libre est au contact de l’atmosphère : la pression y est P₀ aux deux points. Avec le fond pris au même niveau, les altitudes de surface sont h₀ et h. Bernoulli donne gh₀ + v₀²/2 = gh + v²/2, donc :

v = √[v₀² + 2g(h₀ − h)].

On retient la vitesse positive dans le sens de l’écoulement. Le choix de la surface élimine les pressions hydrostatiques inconnues ; la vitesse uniforme sur une section permet de l’utiliser pour calculer le débit.

I.4. Signification de ρg h̃

Avec h̃ = h₀ + v₀²/(2g), on a ρg h̃ = ρgh₀ + ρv₀²/2. C’est l’énergie mécanique par unité de volume, composée des contributions gravitationnelle et cinétique, après retrait de la pression atmosphérique et pour le niveau de référence choisi. Son unité est J·m⁻³, équivalente à Pa. h̃ est la charge spécifique.

I.5. Débit

La section vaut Lh. Ainsi Q = Lhv = Lh√[2g(h̃ − h)], pour 0 ≤ h ≤ h̃ dans ce modèle. Q est en m³·s⁻¹.

I.6. Deux régimes

Pour 0 < Q < Qmax, la droite horizontale de débit coupe la courbe en deux points : l’un de faible hauteur et grande vitesse, l’autre de grande hauteur et faible vitesse.

La dérivée de Q², proportionnel à h²(h̃ − h), s’annule pour hmax = 2h̃/3. À gauche, le régime est torrentiel, avec v/√(gh) > 1. À droite, le régime est fluvial, avec v/√(gh) < 1. Au maximum, le régime est critique et ce rapport, appelé nombre de Froude, vaut 1. Pour Q = Qmax, les deux solutions se confondent.

I.7. Passage entre les piles d’un pont

Le débit total se conserve, mais L diminue : le débit par unité de largeur Q/L augmente. À charge h̃ inchangée et sans perte, on se rapproche donc du sommet de la courbe.

• Sur la branche fluviale, la hauteur diminue, et la vitesse augmente.
• Sur la branche torrentielle, la hauteur augmente, et la vitesse diminue.

Cette réponse vaut tant que le débit peut être écoulé avec la charge disponible. Un rétrécissement trop important provoque un contrôle critique et peut modifier le niveau en amont ; on ne peut pas extrapoler les mêmes hypothèses à une largeur arbitrairement faible.

Partie II — Diffusion thermique

II.1. Dimension de D

λ s’exprime en W·m⁻¹·K⁻¹ et ρc en J·m⁻³·K⁻¹. Ainsi D = λ/(ρc) s’exprime en m²·s⁻¹ et a pour dimension L²T⁻¹. C’est la diffusivité thermique.

II.2. Loi de Fourier

Le vecteur de densité de flux thermique vaut j = −λ grad T. En une dimension : jₓ = −λ ∂T/∂x. Le signe moins indique que la chaleur se transfère des régions chaudes vers les régions froides. La densité de flux s’exprime en W·m⁻².

II.3. Bilan et équation de diffusion

Sur une tranche de section S et d’épaisseur dx, l’énergie stockée pendant dt est ρcS dx (∂T/∂t)dt. L’énergie reçue vaut [jₓ(x) − jₓ(x + dx)]Sdt, soit −S dx (∂jₓ/∂x)dt au premier ordre. Sans source interne et pour des coefficients constants :

ρc ∂T/∂t = −∂jₓ/∂x = λ ∂²T/∂x², donc ∂T/∂t = D ∂²T/∂x².

II.4. Profil stationnaire

À l’état stationnaire, T″(z) = 0. Avec T(0) = T₀ et T(e) = Tₑ : T(z) = T₀ + (Tₑ − T₀)z/e. Le profil est linéaire et le flux surfacique constant vaut Φ = λ(T₀ − Tₑ)/e, orienté vers les z croissants.

II.5. Analogie électrique et résistance

La différence de potentiel correspond à la différence de température ; l’intensité correspond à la puissance thermique traversante, notée ici Pth = SΦ. La loi d’Ohm thermique s’écrit T₀ − Tₑ = Rth Pth, avec Rth = e/(λS) en K·W⁻¹.

Le sujet définit Φ comme un flux par unité de surface. Si on veut l’utiliser directement, on doit employer une résistance surfacique rth = e/λ, en m²·K·W⁻¹, et écrire T₀ − Tₑ = rth Φ. Les deux conventions ne doivent pas être mélangées, surtout pour les surfaces différentes de la question suivante.

II.6. Deux plaques

a. Plaques successives, en série. Sans stockage ni source à l’interface, la même puissance traverse les deux plaques. Comme leur section est la même, Φ₁ = Φ₂ également. Les chutes de température s’additionnent : Rtot = R₁ + R₂, pour les résistances en K·W⁻¹. Le résultat d’addition vaut aussi pour les résistances surfaciques de plaques de même section.

b. Plaques contiguës, en parallèle. Les deux plaques ont la même différence de température. Les puissances s’additionnent : Ptot = P₁ + P₂ = ΔT(1/R₁ + 1/R₂), donc 1/Rtot = 1/R₁ + 1/R₂.

Avec la définition surfacique de Φ et deux sections S/2, la relation exacte est Ptot = (S/2)(Φ₁ + Φ₂). La densité de flux moyenne sur la surface S vaut donc (Φ₁ + Φ₂)/2, et non Φ₁ + Φ₂. L’addition directe des « flux » de l’énoncé est correcte seulement si ce mot désigne les puissances. Les R₁ et R₂ du montage parallèle doivent être calculées avec la section propre S/2 de chaque plaque.

c. Schémas équivalents. Dans le premier montage, R₁ puis R₂ sont parcourues par la même puissance thermique. Dans le second, les deux branches relient les mêmes températures et leurs puissances se rejoignent.

Formation de la glace

II.7. Flux fourni par l’air

En régime quasi stationnaire, T passe de Tair < 0 à la surface à 0 à la profondeur e. Avec l’axe dirigé vers le bas : Φ = −λ(0 − Tair)/e = λTair/e < 0. L’air ne fournit pas une puissance positive au lac : la chaleur est extraite de l’eau et dirigée vers le haut.

II.8. Solidification

La solidification est exothermique : l’eau libère de l’énergie en devenant glace. L’enthalpie massique de solidification vaut −L, où L > 0 est la chaleur latente de fusion fournie par le sujet.

II.9. Équation sur e

Pendant dt, la masse de glace formée sur une surface S vaut ρS de. L’énergie libérée est ρLS de. Elle est évacuée vers l’air par la conduction : ρLS de = −ΦS dt = λ(−Tair)S dt/e. Donc :

de/dt = β/e, avec β = λ(−Tair)/(ρL) > 0, en m²·s⁻¹.

II.10. Solution

En multipliant par e puis en intégrant : e²(t) − e²(0) = 2βt. Avec l’apparition du premier cristal à t = 0, on prend e(0) = 0, d’où e(t) = √(2βt) pour t > 0. L’équation est singulière exactement à e = 0 ; cette expression est la limite du modèle après le début de formation.

II.11. Application numérique

Le temps pour atteindre ec vaut tc = ec²/(2β) = ρLec²/[2λ(−Tair)]. Avec ec = 0,10 m, ρ = 1 000 kg·m⁻³, L = 320 000 J·kg⁻¹, λ = 2 W·m⁻¹·K⁻¹ et Tair = −10 °C :

β = 6,25 × 10⁻⁸ m²·s⁻¹ et tc = 80 000 s ≈ 22,2 h ≈ 0,93 jour.

L’ordre de grandeur est celui d’une journée dans le modèle, mais l’estimation suppose un air constamment froid, une interface directement à Tair et une conduction uniforme. Une résistance d’échange avec l’air, la neige, les mouvements de l’eau ou une variation de température modifient la formation. La résistance mécanique dépend aussi de l’état et de l’homogénéité de la glace : ce calcul théorique ne permet pas de décider qu’un lac réel serait praticable après 22 heures.

Température périodique dans une glace épaisse

II.12. Équation de Θ

T₀ étant constant, ∂Θ/∂t = D ∂²Θ/∂z². Les conditions sont Θ(0, t) = A cos(ωt) et une perturbation bornée, tendant vers zéro lorsque z augmente indéfiniment.

II.13. Amplitude et phase à la surface

La solution complexe doit prendre la valeur Ae^(iωt) à z = 0. Pour une amplitude A positive, Θ₀ = A et φ = 0 modulo 2π. Si A était choisi négatif, on pourrait prendre Θ₀ = |A| et φ = π ; le coefficient complexe de surface reste A.

II.14. Relation de dispersion

Pour Θc = Ae^[i(ωt − kz)], on a ∂tΘc = iωΘc et ∂zzΘc = −k²Θc. Ainsi k² = −iω/D.

II.15. Choix de la racine

En posant ℓ = √(2D/ω), les racines sont k = ±(1 − i)/ℓ. Dans la convention exp[i(ωt − kz)], la racine (1 − i)/ℓ donne le facteur décroissant e^(−z/ℓ). L’autre donne une croissance exponentielle en profondeur et doit être rejetée pour le milieu semi-infini.

II.16. Solution réelle

En prenant la partie réelle :

Θ(z, t) = Ae^(−z/ℓ) cos(ωt − z/ℓ), donc T(z, t) = T₀ + Ae^(−z/ℓ) cos(ωt − z/ℓ).

Il s’agit d’une onde thermique amortie, ou pseudo-onde de diffusion : l’amplitude décroît et la phase est retardée avec la profondeur. Elle satisfait l’équation de diffusion, et non l’équation d’une onde mécanique non dissipative.

II.17. Allure et lecture de ℓ

À un instant fixé, le profil oscille autour de T₀ à l’intérieur des enveloppes T₀ ± Ae^(−z/ℓ). À la profondeur ℓ, l’amplitude de cette enveloppe vaut A/e. Le graphique suivant représente l’instant ωt = 0.

On lit ℓ sur la décroissance de l’enveloppe, pas en cherchant simplement T(ℓ, t) − T₀ = A/e sur un profil quelconque : le cosinus intervient aussi. Des mesures d’amplitude à différentes profondeurs permettent cette lecture.

II.18. Autres situations

Les oscillations quotidiennes ou saisonnières de la température du sol, et la réponse d’une paroi épaisse à une température extérieure périodique, fournissent d’autres exemples. Sous les hypothèses de conduction et de coefficients constants, on retrouve un amortissement de l’amplitude et un retard de phase avec la profondeur. Une période plus longue, donc une pulsation plus faible, donne une longueur de pénétration ℓ plus grande.