Corrigé Mines-Ponts 2026 MP — Mathématiques II

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Proposition de corrigé — non officielle. Concours commun Mines-Ponts 2026, filière MP, deuxième épreuve de mathématiques, quatre heures sans calculatrice. Les 30 questions des quatre pages de texte, après la couverture, sont traitées.

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I. Quelques propriétés du groupe orthogonal

1. Diagonalisabilité de Rθ

Le polynôme caractéristique est X² − 2 cos θ X + 1, dont les racines complexes sont eⁱθ et e⁻ⁱθ. Si sin θ ≠ 0, elles sont distinctes et non réelles : Rθ est diagonalisable sur C, mais pas sur R. Si sin θ = 0, Rθ = I₂ ou −I₂ : elle est déjà diagonale sur les deux corps. Elle est donc toujours diagonalisable sur C et l’est sur R exactement lorsque θ est un multiple de π.

2. Description de SO₂(R)

Soit M dans SO₂(R). Sa première colonne est un vecteur unitaire (a, c), donc (cos θ, sin θ) pour un réel θ. La seconde colonne, unitaire et orthogonale à la première, est soit (−sin θ, cos θ), soit son opposé. Le déterminant vaut respectivement 1 ou −1 : seule la première possibilité convient. Donc M = Rθ. Réciproquement, les colonnes de Rθ sont orthonormées et son déterminant vaut 1, ce qui établit l’égalité des ensembles.

3. Compacité et absence de connexité par arcs

Oₙ(R) est l’ensemble des zéros de l’application continue M ↦ MᵀM − Iₙ ; il est fermé. Ses colonnes unitaires imposent |mᵢⱼ| ≤ 1, donc il est borné. En dimension finie, il est compact.

Le déterminant ne prend que les valeurs 1 et −1 sur cet ensemble. Un chemin continu entre Iₙ et diag(−1, 1, …, 1) aurait un déterminant continu reliant ces deux valeurs sans quitter {−1, 1}, ce qui est impossible. Oₙ(R) n’est donc pas connexe par arcs.

4. Connexité par arcs de SOₙ(R)

La réduction orthogonale réelle d’une matrice orthogonale fournit une base orthonormée dans laquelle elle est diagonale par blocs de rotations planes et de blocs scalaires 1 ou −1. Le déterminant 1 impose un nombre pair de blocs −1 ; on les regroupe deux à deux en rotations Rπ.

Ainsi M = P diag(Rθ₁, …, Rθᵣ, 1, …, 1)Pᵀ, avec P orthogonale. L’application t ↦ P diag(Rtθ₁, …, Rtθᵣ, 1, …, 1)Pᵀ, pour 0 ≤ t ≤ 1, est un chemin dans SOₙ(R), de Iₙ à M. Dans le cas n = 2, cette construction est directement celle de la question 2.

5. Sous-groupes contenant SOₙ(R)

Si H ne contient que des matrices de déterminant 1, il est égal à SOₙ(R). Sinon, choisir A dans H de déterminant −1. Pour toute matrice B orthogonale de déterminant −1, A⁻¹B appartient à SOₙ(R), donc à H, et B = A(A⁻¹B) appartient à H. H contient alors les deux classes de déterminant et H = Oₙ(R).

6. Matrices aléatoires de Bernoulli

Pour une matrice 2 × 2, noter a, b, c, d les quatre coefficients. Elle est inversible si ad ≠ bc, c’est-à-dire si exactement l’un de ces deux produits vaut 1. Les produits sont indépendants et chacun vaut 1 avec probabilité p². D’où :

P(Z₂ inversible) = 2p²(1 − p²).

Une colonne à coefficients 0 ou 1 est unitaire seulement lorsqu’elle comporte exactement un 1. L’orthogonalité des colonnes impose que leurs 1 occupent des lignes distinctes : les matrices possibles sont exactement les n! matrices de permutation. Chacune a n coefficients égaux à 1 et n² − n coefficients égaux à 0. Ainsi :

P(Zₙ ∈ Oₙ(R)) = n! pⁿ(1 − p)ⁿ²⁻ⁿ.

Pour n ≥ 2, la moitié des permutations sont paires, par appariement avec une transposition. Par conséquent :

P(Zₙ ∈ SOₙ(R)) = (n!/2) pⁿ(1 − p)ⁿ²⁻ⁿ.

7. Réflexion envoyant x sur y

Si x ≠ y, poser v = x − y et A = Iₙ − 2vvᵀ/‖v‖². C’est la réflexion par rapport à l’hyperplan orthogonal à v. L’égalité des normes donne v · x = ‖v‖²/2, donc Ax = x − v = y.

Si x = y, choisir un vecteur v non nul orthogonal à x, ce qui est possible pour n ≥ 2 ; si x = 0, tout v non nul convient. La même réflexion fixe alors x et satisfait encore Ax = y. L’identité seule ne conviendrait pas comme réponse à la demande d’une réflexion.

8. Construction dans le groupe compact

Poser c = ‖Gx‖ > 0. La question 7 fournit A orthogonale telle que AGx = cx. Comme Oₙ(R) est inclus dans le groupe considéré, T = AG appartient à ce groupe et Tx = cx. Pour tout entier p, positif, nul ou négatif, Gₚ = Tᵖ appartient au groupe et vérifie Gₚx = cᵖx. Pour les puissances négatives, on utilise T⁻¹x = c⁻¹x.

9. Maximalité du groupe orthogonal parmi ces groupes compacts

Le groupe compact est borné pour la norme d’opérateur. Si c > 1, ‖Tᵖx‖ devient non borné lorsque p tend vers +∞ ; si c < 1, il devient non borné lorsque p tend vers −∞. Donc c = 1.

Ainsi chaque G du groupe préserve la norme de tout vecteur unitaire, puis de tout vecteur par homogénéité. Par polarisation, G préserve le produit scalaire et appartient à Oₙ(R). L’inclusion inverse étant donnée, le groupe est exactement Oₙ(R).

II. Calcul différentiel

10. Différentielle de M ↦ MᵀM

Le développement (M + H)ᵀ(M + H) = MᵀM + MᵀH + HᵀM + HᵀH montre que :

df(M)[H] = MᵀH + HᵀM.

Le reste est quadratique en H et la différentielle dépend continûment de M ; f est de classe C¹, et même polynomiale.

11. Inclusion dans les matrices antisymétriques

Pour un chemin γ du sujet, γ(t)ᵀγ(t) = Iₙ. Dériver en 0, où γ(0) = Iₙ et γ′(0) = H, donne Hᵀ + H = 0. Tout élément de T est donc antisymétrique.

12. Structure vectorielle de T

Si γ₁ et γ₂ représentent H₁ et H₂, leur produit γ(t) = γ₁(t)γ₂(t) reste orthogonal et a pour dérivée H₁ + H₂ en 0. Le chemin constant représente 0. Pour un scalaire a, t ↦ γ₁(at), défini sur un voisinage adapté de 0, représente aH₁ ; le cas a = 0 est constant. T est donc stable par addition et multiplication scalaire : c’est un sous-espace vectoriel.

13. Détermination exacte de T

Pour H antisymétrique, prendre γ(t) = exp(tH). On a γ(t)ᵀγ(t) = exp(−tH)exp(tH) = Iₙ, γ(0) = Iₙ et γ′(0) = H. Toute matrice antisymétrique appartient ainsi à T. Avec la question 11 : T = {H : Hᵀ = −H}.

14. Absence de maximum global sur SLₙ(R)

Pour t > 0, la matrice Dₜ = diag(t, t⁻¹, 1, …, 1) a un déterminant égal à 1. Mais g(Dₜ) = t² + t⁻² + n − 2 → +∞ lorsque t tend vers l’infini. g n’est pas majorée sur SLₙ(R), donc n’y possède aucun maximum global.

15. Gradients

Avec le produit scalaire ⟨A, B⟩ = tr(AᵀB), on a g(M) = ∑ mᵢⱼ², d’où ∇g(M) = 2M.

Le déterminant est un polynôme des coefficients, donc de classe C¹. Son développement suivant la ligne i donne ∂det/∂mᵢⱼ = Cᵢⱼ, le cofacteur correspondant. Ainsi ∇det(M) = Com(M), sans transposer cette matrice de cofacteurs. Pour M inversible, Com(M) = det(M)M⁻ᵀ.

16. Extremum local

Sur SLₙ(R), Com(M) = M⁻ᵀ est non nulle ; la contrainte est régulière. Au point d’extremum local, les multiplicateurs de Lagrange donnent 2M = μCom(M). En posant λ = μ/2 : M = λCom(M).

Multiplier à gauche par Mᵀ donne MᵀM = λIₙ. Cette matrice est définie positive, donc λ > 0. Son déterminant vaut (det M)² = 1, mais aussi λⁿ : λ = 1. Ainsi M ∈ SOₙ(R).

17. Minimum global

SLₙ(R) est fermé et non vide. La partie où g(M) ≤ n est compacte, puisque g est le carré de la norme euclidienne, et contient Iₙ. Un minimum y est atteint ; tout point en dehors a une valeur supérieure à n et ne peut améliorer celle de Iₙ. Le minimum global existe donc.

Les valeurs propres s₁, …, sₙ de MᵀM sont strictement positives et leur produit vaut 1. L’inégalité arithmético-géométrique donne g(M) = ∑ sⱼ ≥ n. L’égalité a lieu exactement si tous les sⱼ valent 1, soit MᵀM = Iₙ. Avec det M = 1, les points minimisants sont exactement SOₙ(R), et le minimum vaut n.

III. Morphismes continus du cercle

18. Sous-groupes bornés de R* et déterminant

Dans un sous-groupe borné, un élément réel de valeur absolue supérieure à 1 aurait des puissances non bornées. Un élément de valeur absolue inférieure à 1 aurait des puissances inverses non bornées. Tout élément a donc pour valeur absolue 1. Les seuls sous-groupes bornés de R* sont {1} et {−1, 1}.

L’image φ(U) est compacte, donc son image par le déterminant est un sous-groupe borné de R*. Le cercle U est connexe, et le déterminant est continu : cette image ne peut contenir les deux valeurs −1 et 1. Elle contient 1, donc det φ(z) = 1 pour tout z, et φ(U) est inclus dans SLₙ(R).

19. Valeurs propres de φ(z)

Soit μ une valeur propre complexe de φ(z), avec un vecteur propre non nul v. Pour tout entier r, φ(z)ʳ = φ(zʳ) reste dans l’image compacte. Or φ(z)ʳv = μʳv. La bornitude pour les entiers positifs et négatifs impose |μ| = 1. Toutes les valeurs propres complexes appartiennent donc à U.

20. Relation de groupe pour Ψ

Comme eⁱ⁽ˣ⁺ʸ⁾ = eⁱˣeⁱʸ et φ est un morphisme : Ψ(x + y) = Ψ(x)Ψ(y). En particulier, Ψ(0) = Iₙ et les matrices Ψ(x) commutent entre elles.

21. Régularité de F et inversibilité locale

Ψ est continue, donc l’intégration coefficient par coefficient donne F de classe C¹ et F′ = Ψ. De plus, F(x)/x → Ψ(0) = Iₙ lorsque x tend vers 0, par continuité et moyenne intégrale, des deux côtés de 0.

L’ensemble des matrices inversibles est ouvert car il est défini par det ≠ 0. On peut donc choisir α > 0 assez petit pour que F(x)/x soit inversible pour 0 < |x| ≤ α. Puisque x ≠ 0, F(x) l’est aussi.

22. Régularisation de Ψ

La relation de groupe donne :

Ψ(x)F(α) = ∫ de 0 à α Ψ(x)Ψ(u) du = ∫ de x à x + α Ψ(t) dt.

Multiplier à droite par F(α)⁻¹ fournit la formule demandée. Le membre intégral est F(x + α) − F(x), de classe C¹. Ainsi Ψ est de classe C¹.

23. Forme exponentielle

Poser M = Ψ′(0). En dérivant Ψ(x + y) = Ψ(x)Ψ(y) par rapport à x en x = 0, on obtient Ψ′(y) = MΨ(y), avec Ψ(0) = Iₙ. L’unique solution de cette équation différentielle matricielle est Ψ(x) = exp(xM). On peut le vérifier en dérivant exp(−xM)Ψ(x), dont la dérivée est nulle.

IV. Forme réelle des morphismes

24. Similitude réelle

Si A et B sont semblables sur C, choisir P = U + iV inversible, avec U et V réelles, tel que AP = PB. Alors AU = UB et AV = VB.

Le polynôme réel q(t) = det(U + tV) n’est pas identiquement nul, puisque q(i) = det P ≠ 0. Il n’a donc qu’un nombre fini de racines réelles. Choisir t réel hors de ces racines : Q = U + tV est réelle, inversible, et AQ = QB. Ainsi A et B sont semblables sur R.

25. Noyaux d’une matrice nilpotente

L’inclusion ker N ⊂ ker N² est immédiate. Si N est nilpotente non nulle, son indice de nilpotence r est au moins 2. Choisir v tel que Nʳ⁻¹v ≠ 0 et poser w = Nʳ⁻²v. Alors Nw ≠ 0 mais N²w = 0. L’inclusion est donc stricte : ker N ≠ ker N².

26. Spectre de M

Comme Ψ(2π) = φ(1) = Iₙ, on a exp(2πM) = Iₙ. Pour toute valeur propre μ de M et un vecteur propre associé v, exp(2πM)v = exp(2πμ)v. Donc exp(2πμ) = 1, ce qui impose μ = ik pour un entier k.

27. Décomposition complexe

Dans une base de Jordan complexe, M est formée de blocs μI + J, où J est nilpotente. Prendre D diagonale avec chaque μ répété sur son bloc et N constitué des parties J. Alors M est semblable à D + N, D et N commutent, N est nilpotente et le spectre de D est celui de M.

28. Disparition de la partie nilpotente

Les termes diagonaux de D sont des ik, donc exp(2πD) = Iₙ. Comme D et N commutent, exp(2π(D + N)) = exp(2πD)exp(2πN) ; la question 26 implique exp(2πN) = Iₙ.

Si N était non nulle, la question 25 fournirait w avec Nw ≠ 0 et N²w = 0. La série exponentielle appliquée à w se réduit à w + 2πNw, qui serait différent de w. Contradiction. Ainsi N = 0, et M est diagonalisable sur C.

29. Blocs de rotations réels

M étant réelle, ses valeurs propres non nulles ik se présentent par paires conjuguées ik et −ik, de mêmes multiplicités. Former une matrice réelle B diagonale par blocs kJ, avec J = [[0, −1], [1, 0]], une fois par paire, puis des blocs scalaires 0 pour les valeurs propres nulles.

M et B sont diagonalisables sur C et ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités ; elles sont donc semblables sur C. Par la question 24, elles le sont sur R : M = QBQ⁻¹, avec Q réelle inversible.

Comme exp(xkJ) = Rₓₖ, il vient Ψ(x) = Q diag(Rₓₖ₁, …, Rₓₖₚ, 1, …, 1)Q⁻¹, avec kⱼ entiers non nuls et 2p ≤ n. Si M = 0, p = 0 et Ψ est constamment égale à Iₙ. Q n’a pas à être orthogonale : le morphisme est conjugué à un morphisme à valeurs orthogonales.

30. Réciproque

Les rotations vérifient Rₖ₍ₓ₊ᵧ₎ = RₖₓRₖᵧ ; les blocs 1 restent inchangés. Après conjugaison par Q, on obtient Ψ(x + y) = Ψ(x)Ψ(y) et Ψ(0) = Iₙ. Les matrices sont inversibles et leurs coefficients sont continus en x : c’est un morphisme continu de (R, +) dans GLₙ(R).

Les fréquences entières rendent en outre Ψ périodique de période 2π ; cette formule redonne donc un morphisme bien défini sur le cercle en posant φ(eⁱˣ) = Ψ(x).