Corrigé professeur de 2e catégorie agricole 2026 — Mathématiques 1

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Proposition de corrigé — non officielle. Concours externe 2026, accès à la deuxième catégorie de l’enseignement agricole privé, section mathématiques, épreuve disciplinaire n° 1 commune avec le CAPESA. Les trois problèmes des neuf pages sont traités.

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Problème 1 — Vrai ou faux

Chaque réponse doit être justifiée. Une valeur approchée ne suffit pas à prouver une égalité exacte.

1. Parité — Vrai

Par contraposition, si n est pair, n = 2m et n² = 4m² est pair. Par conséquent, si n² est impair, n est impair.

2. Produit — Vrai

Pour k ≥ 2, 1 − 1/k² = ((k − 1)/k)((k + 1)/k). Les deux produits se simplifient :

∏ de k = 2 à n (1 − 1/k²) = (1/n) × ((n + 1)/2) = (n + 1)/(2n).

3. Suite récurrente — Faux

La croissance de f ne détermine pas à elle seule le sens de variation de la suite. Prendre I = [0, +∞[, f(x) = x/2 et u₀ = 1 : f est croissante, mais uₙ = 2⁻ⁿ est strictement décroissante. Pour une fonction croissante, le signe de u₁ − u₀ se transmet aux différences suivantes.

4. Couple réel — Vrai

x² + y² = xy équivaut à (x − y/2)² + 3y²/4 = 0. Les deux termes sont positifs ou nuls ; ils s’annulent ensemble uniquement pour x = y = 0.

5. Équation exponentielle — Faux

Poser u = eˣ > 0. L’équation devient u² + u − 2 = (u − 1)(u + 2) = 0. La racine −2 est impossible pour eˣ ; la seule solution réelle est x = 0.

6. Équation sur les réels positifs — Vrai

H(x) = x − 1 − 1/√x est continue sur ]0, +∞[, avec H′(x) = 1 + 1/(2x³ᐟ²) > 0. Ses limites sont −∞ en 0 et +∞ à l’infini. Le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte croissance donnent exactement une solution.

7. Composition — Vrai

h(x) = e²ˣ − 2. Pour x > 0, h(x) > −1 : la composition est définie et f(h(x)) = ln(1 + e²ˣ − 2) = ln(e²ˣ − 1).

8. Produit de fonctions — Faux

Prendre f(x) = max(x, 0) et g(x) = max(−x, 0). Leur produit est nul pour tout x, mais f(1) = 1 et g(−1) = 1. Aucune des deux fonctions n’est identiquement nulle. L’énoncé confond une alternative valable en chaque point avec une alternative portant sur les fonctions entières.

9. Dérivée — Faux

Pour a > 0, aˣ = exp(x ln a), donc f′(x) = (ln a)aˣ. La formule xaˣ⁻¹ concerne une autre expression et n’est pas valable ici. Par exemple, avec a = 1, f est constante et sa dérivée est nulle.

10. Intégrale à bornes variables — Faux

Une primitive F de t ↦ eᵗ/t existe sur ]0, +∞[ et g(x) = F(x) − F(1/x). Par dérivation :

g′(x) = eˣ/x − (e¹ᐟˣ/(1/x))(−1/x²) = (eˣ + e¹ᐟˣ)/x.

Le terme lié à la borne inférieure a donc un signe positif. En x = 1, la dérivée vaut 2e, alors que l’expression proposée dans le sujet vaut 0.

11. Symétrie d’une intégrale — Vrai

Noter J = ∫ de a à b x f(x) dx. Avec t = a + b − x et la symétrie donnée, J = ∫ de a à b (a + b − t)f(t) dt. En ajoutant cette expression à la première, 2J = (a + b) ∫ de a à b f(t) dt : on obtient l’identité annoncée.

12. Équation différentielle — Faux

Le polynôme caractéristique est (r − 1)². Toutes les solutions sont y(x) = (A + Bx)eˣ, avec A et B réels. La proposition oublie les solutions où B ≠ 0 ; x eˣ est un contre-exemple.

13. Lieu complexe — Faux

Écrire z = x + iy. Avec les conjugaisons du sujet, on obtient :

Z = x² + y² + 4x + 2y + 1 + 4ix.

Z est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est nulle, soit (x + 2)² + (y + 1)² = 4. C’est bien un cercle, mais son centre a pour affixe −2 − i, et son rayon est 2.

14. Longueur dans un triangle — Faux

La loi des cosinus donne AB² = 4² + 3² − 2 × 4 × 3 × cos 30° = 25 − 12√3. Ainsi AB = √(25 − 12√3). Cette valeur est proche de 2,05, mais n’est pas exactement 41/20. Son carré est irrationnel, contrairement à (41/20)².

15. Carrés successifs — Vrai

Si le côté du carré initial est s, son cercle circonscrit a pour rayon s√2/2. Ce cercle inscrit dans le carré suivant lui donne un côté s√2. L’aire double à chaque étape. L’aire initiale valant 1, celle du carré de rang n vaut 2ⁿ, donc 2²⁰²⁴ au rang demandé.

16. Droites et plan

a) Faux. A appartient au plan, car 2 − 1 = 1. Mais le produit scalaire du normal (1, −1, 2) avec le directeur (−1, 0, 1) vaut 1, et non 0. Sur la droite, (x, y, z) = (2 − t, 1, t), d’où x − y + 2z = 1 + t : seul t = 0 appartient au plan.

b) Vrai. Le directeur de D₁ est (1, −1, 2), égal à un vecteur normal du plan. D₁ est donc orthogonale au plan.

17. Rectangle — Vrai pour un quadrilatère non dégénéré

L’ensemble défini par MA · MC = 0 est le cercle de diamètre [AC], extrémités comprises ; l’autre est le cercle de diamètre [BD]. Si les cercles sont égaux, leurs centres et rayons sont égaux : les diagonales ont le même milieu et la même longueur. Le quadrilatère est alors un parallélogramme à diagonales égales, donc un rectangle. Réciproquement, les diagonales d’un rectangle ont le même milieu et la même longueur ; les deux cercles sont égaux. On utilise ici le sens usuel d’un quadrilatère, avec quatre sommets distincts formant une figure non dégénérée.

Problème 2 — Transmission génétique

Les calculs suivent le modèle mendélien simplifié de l’énoncé. Les tirages des parents et les transmissions des deux allèles sont indépendants dans ce modèle. On a a, b, c ≥ 0 et a + b + c = 1.

1. Parents P-h et P-h

a) Dans un tableur en français, une formule possible en B2, à recopier dans les deux colonnes jusqu’à la ligne 101, est :

=SI(ALEA()<0,5;"P";"h")

Chaque cellule simule un allèle ; deux cellules indépendantes donnent les deux allèles du veau.

b) Les couples équiprobables sont (P, P), (P, h), (h, P), (h, h). Les deux couples mixtes correspondent au même génotype. On trouve P(P-P) = 1/4, P(P-h) = 1/2 et P(h-h) = 1/4.

c) Sur 100 veaux, les effectifs moyens sont donc 25, 50 et 25. Le tableau du sujet présente respectivement des effectifs de 18 à 34, de 37 à 55 et de 22 à 32. Ces écarts sont compatibles avec la fluctuation aléatoire d’échantillons de 100 individus. Pour chaque effectif considéré séparément, la loi est binomiale ; les écarts types valent environ 4,33 pour P-P et h-h, et 5 pour P-h. Les trois effectifs ne sont pas indépendants puisqu’ils totalisent 100. Dix simulations n’ont pas à fournir exactement les proportions théoriques et ne constituent pas, à elles seules, une démonstration du modèle.

2. Vache sans cornes et taureau avec cornes

Le symbole [H] de cette question est interprété comme le phénotype avec cornes, noté [h] dans les définitions : le taureau est h-h. La sélection décrite suppose a + b > 0 et la présence d’animaux avec cornes.

a) Parmi les vaches [P], seules les classes P-P et P-h sont possibles. Par conditionnement, leurs probabilités sont a/(a + b) et b/(a + b).

b) Un croisement P-P × h-h donne toujours P-h ; un croisement P-h × h-h donne pour moitié P-h et pour moitié h-h. Ainsi :

3. Deux parents sans cornes

Un parent choisi parmi les [P] transmet P avec la probabilité q = (2a + b)/(2(a + b)), et h avec r = b/(2(a + b)). En effet, les P-P transmettent toujours P et les P-h le transmettent une fois sur deux. Comme q + r = 1, les probabilités du veau sont q² pour P-P, 2qr pour P-h et r² pour h-h. Le facteur 2 compte les deux transmissions mixtes.

4. Deux parents dans toute la population

Sans sélection du phénotype, la probabilité de transmettre P est u = a + b/2, et celle de transmettre h est v = c + b/2 = 1 − u. Les mêmes combinaisons indépendantes donnent :

P(P-P) = (a + b/2)² ; P(P-h) = 2(a + b/2)(c + b/2) ; P(h-h) = (c + b/2)².

La somme vaut (u + v)² = 1. Il ne faut pas utiliser les probabilités conditionnelles de la question 3 lorsqu’aucune sélection des parents n’est effectuée.

Problème 3 — Transmission d’une information

A.1. Fonction factorielle

Le script fourni comporte deux erreurs : le test doit utiliser ==, et le produit ne doit pas commencer par 0. La version suivante traite aussi 0! = 1, puisque la boucle est alors vide :

def factorielle(n):
    f = 1
    for i in range(1, n + 1):
        f *= i
    return f

On suppose n entier naturel, comme dans l’énoncé.

A.2. Coefficient binomial

Pour des entiers 0 ≤ k ≤ n, la division entière évite un résultat flottant :

def coefbinom(n, k):
    return factorielle(n) // (
        factorielle(k) * factorielle(n - k)
    )

A.3. Identité

Pour 1 ≤ k ≤ n, (n/k) × (n − 1)!/((k − 1)!(n − k)!) = n!/(k!(n − k)!). C’est l’identité demandée entre les coefficients binomiaux.

A.4. Espérance binomiale

Dans la somme E[X] = ∑ de k = 0 à n k C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, le terme k = 0 est nul. Utiliser k C(n, k) = n C(n − 1, k − 1), puis poser j = k − 1 :

E[X] = np ∑ de j = 0 à n − 1 C(n − 1, j)pʲ(1 − p)ⁿ⁻¹⁻ʲ = np.

La dernière somme vaut (p + 1 − p)ⁿ⁻¹ = 1 par le binôme de Newton.

A.5. Intégrales et approximation de e

a) I₀(a) = ∫ de 0 à a e⁻ˣ dx = 1 − e⁻ᵃ.

b) Sur [0, 1], 0 ≤ e⁻ˣ ≤ 1, donc 0 ≤ Iₙ(1) ≤ ∫ de 0 à 1 xⁿ/n! dx = 1/(n + 1)!. Par encadrement, Iₙ(1) tend vers 0.

c) Pour n ≥ 1, une intégration par parties, avec u = xⁿ/n! et dv = e⁻ˣ dx, donne :

Iₙ(a) = [−xⁿe⁻ˣ/n!] de 0 à a + Iₙ₋₁(a) = −aⁿe⁻ᵃ/n! + Iₙ₋₁(a).

d) En appliquant cette relation successivement jusqu’à I₀(a), on obtient Iₙ(a) = 1 − e⁻ᵃ ∑ de k = 0 à n aᵏ/k!. Cela se vérifie aussi par récurrence.

e) Avec a = 1 et uₙ = ∑ de k = 0 à n 1/k!, la relation devient uₙ = e(1 − Iₙ(1)). La limite précédente établit uₙ → e sans supposer cette formule de série au départ.

f) Pour j ≥ 1, (n + j)! ≥ n!(n + 1)ʲ. En comparant à une série géométrique :

∑ de k = n + 1 à l’infini 1/k! ≤ (1/n!) ∑ de j = 1 à l’infini (n + 1)⁻ʲ = 1/(n n!).

Comme uₙ ≤ e, on en déduit |uₙ − e| ≤ 1/(n n!).

g) Pour s > 0, le programme du sujet augmente n jusqu’à obtenir 1/(n n!) ≤ s. Mais sa variable u commence à 1, puis ajoute les termes à partir de 1/2!. À la sortie, elle vaut donc uₙ − 1, et fournit une approximation de e − 1, à une erreur au plus s. Elle ne fournit pas une approximation de e : le terme 1/1! manque.

Si l’objectif est d’approcher e, on peut écrire :

def approximation_e(s):
    if s <= 0:
        raise ValueError("La précision doit être positive")
    n = 1
    u = 2.0
    while 1 / (n * factorielle(n)) > s:
        n += 1
        u += 1 / factorielle(n)
    return u

La borne est une borne mathématique ; pour des précisions proches de celles de la machine, il faut aussi considérer les arrondis numériques. Pour s = 0,001, n atteint 6 et l’approximation de e vaut environ 2,718055556. Le programme initial renvoie environ 1,718055556.

B.1. Transmission directe

1. Les n destinataires correspondent à n essais indépendants, avec la même probabilité p de recevoir la bonne valeur. Ainsi N suit B(n, p).

2.a) E[N] = 80 × 3/4 = 60 individus en moyenne.

2.b) La probabilité demandée est la somme des termes binomiaux de 70 à 80 :

P(N ≥ 70) = ∑ de k = 70 à 80 C(80, k)(3/4)ᵏ(1/4)⁸⁰⁻ᵏ ≈ 0,004659289.

Arrondie à 10⁻³, elle vaut 0,005, soit environ 0,466 % avant arrondissement.

B.2. Transmission par intermédiaires

1. Au passage suivant, une valeur correcte reste correcte avec probabilité p ; une valeur incorrecte devient correcte lorsqu’elle est inversée, avec probabilité 1 − p. En appliquant la règle du sujet à chaque étape :

pₖ₊₁ = p pₖ + (1 − p)(1 − pₖ) = (2p − 1)pₖ + 1 − p.

2. Soustraire 1/2 donne pₖ₊₁ − 1/2 = (2p − 1)(pₖ − 1/2).

3. La suite centrée est géométrique et p₀ − 1/2 = 1/2. Par conséquent, pₙ = 1/2 + (2p − 1)ⁿ/2.

4. Puisque 0 < p < 1, on a |2p − 1| < 1 et pₙ → 1/2. Après beaucoup d’intermédiaires, la valeur finale devient aussi probable que son contraire : elle ne permet plus de reconnaître fiablement la valeur initiale. Pour p < 1/2, les écarts à 1/2 alternent de signe.

B.3. Nombre aléatoire de destinataires

On applique aux destinataires à l’écoute le modèle de transmissions directes indépendantes utilisé en B.1.

1. Conditionnellement à X = n, Y suit B(n, p). Pour 0 ≤ k ≤ n, P(Y = k | X = n) = C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Lorsque n = 0, Y = 0 avec certitude.

2.a) La formule des probabilités totales, puis la simplification des factorielles, donnent, pour k ≥ 0 :

P(Y = k) = ∑ de n = k à l’infini e⁻λ λⁿ/n! × C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

= e⁻λ(λp)ᵏ/k! × ∑ de n = k à l’infini (λ(1 − p))ⁿ⁻ᵏ/(n − k)!.

2.b) En posant j = n − k, la somme vaut exp(λ(1 − p)). Ainsi P(Y = k) = exp(−λp)(λp)ᵏ/k!, pour k entier naturel : Y suit la loi de Poisson de paramètre λp.

2.c) La probabilité qu’aucune personne ne reçoive la bonne valeur est donc P(Y = 0) = exp(−λp). Elle inclut à la fois l’absence de destinataire à l’écoute et les situations où tous les destinataires présents reçoivent la mauvaise valeur.