QCM agent de maîtrise : géométrie et logique

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Question 1 · Géométrie

Le carré ABCD a une aire de 16 cm². E, F, G et H sont respectivement sur AB, BC, CD et DA, avec AE = BF = CG = DH et AE = 3 EB. Quelle est la longueur AB ?

Carré ABCD, avec E sur AB, F sur BC, G sur CD et H sur DA. AE = BF = CG = DH et AE = 3 EB. Les segments EG et HF se coupent en O ; les triangles HEO et FGO sont grisés.

4 cm
8 cm
16 cm
2 cm

L’aire d’un carré est le carré de la longueur de son côté. AB² = 16, donc AB = √16 = 4 cm. Une longueur s’exprime en centimètres, alors que l’aire est en centimètres carrés.

Question 2 · Géométrie

Le carré ABCD a une aire de 16 cm². E, F, G et H sont respectivement sur AB, BC, CD et DA, avec AE = BF = CG = DH et AE = 3 EB. Quelle est la longueur AE ?

1 cm
2 cm
3 cm
4 cm

Le côté AB mesure √16 = 4 cm. Avec EB = x et AE = 3x, on a AB = 4x = 4, donc x = 1 cm. Ainsi AE = 3 cm. Sur un dessin en grandeur réelle, placez E à 3 cm de A et à 1 cm de B, puis F, G et H avec BF = CG = DH = 3 cm.

Question 3 · Géométrie

Le carré ABCD a une aire de 16 cm². E, F, G et H sont respectivement sur AB, BC, CD et DA, avec AE = BF = CG = DH et AE = 3 EB. Quelle est la longueur AH ?

3 cm
1 cm
2 cm
4 cm

Chaque côté du carré mesure 4 cm. Puisque AE = 3 EB, on a AE = 3 cm ; l’égalité donnée impose DH = 3 cm. H est sur DA : AH = AD − DH = 4 − 3 = 1 cm.

Question 4 · Géométrie

Le carré ABCD a une aire de 16 cm². E, F, G et H sont respectivement sur AB, BC, CD et DA, avec AE = BF = CG = DH et AE = 3 EB. Quelle est la longueur HE, sous forme exacte puis arrondie au centième ?

√8 cm, soit environ 2,83 cm
√12 cm, soit environ 3,46 cm
4 cm exactement
√10 cm, soit environ 3,16 cm

Dans le triangle HAE rectangle en A, AH = 1 cm et AE = 3 cm. Pythagore donne HE² = AH² + AE² = 1² + 3² = 10. Ainsi HE = √10 cm ≈ 3,16 cm. Il faut additionner les carrés des deux côtés de l’angle droit, pas leurs longueurs.

Question 5 · Géométrie

Le carré ABCD a une aire de 16 cm². E, F, G et H sont respectivement sur AB, BC, CD et DA, avec AE = BF = CG = DH et AE = 3 EB. Quelle est la mesure de l’angle HEA, au degré le plus proche ?

18°
45°
72°
90°

Dans le triangle HAE rectangle en A, l’angle demandé est situé en E. Son côté opposé est AH = 1 cm et son côté adjacent est AE = 3 cm. tan(HEA) = 1/3, d’où HEA ≈ 18,43°, soit 18°. Réglez la calculatrice en degrés pour ce calcul.

Question 6 · Géométrie

Le carré ABCD a une aire de 16 cm². E, F, G et H sont respectivement sur AB, BC, CD et DA, avec AE = BF = CG = DH et AE = 3 EB. Quelle est la mesure de l’angle AHE, au degré le plus proche ?

18°
45°
90°
72°

L’angle HAE est droit : il mesure 90°. L’angle HEA vaut arctan(1/3) ≈ 18,43°. La somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc AHE ≈ 180 − 90 − 18,43 = 71,57°, soit 72°. Les angles du triangle sont donc 90°, environ 18° et environ 72°.

Question 7 · Géométrie

Le carré ABCD a une aire de 16 cm². E, F, G et H sont respectivement sur AB, BC, CD et DA, avec AE = BF = CG = DH et AE = 3 EB. Quelle est la somme des longueurs HE + EF + FG + GH, arrondie au centième ?

6,32 cm
10 cm
12,65 cm
40 cm

Les quatre triangles situés aux coins de ABCD ont chacun des côtés perpendiculaires de 1 cm et 3 cm. Pythagore donne donc √10 cm pour chacune des longueurs HE, EF, FG et GH. Leur somme vaut 4 × √10 cm ≈ 12,6491 cm, soit 12,65 cm. Conservez √10 dans le calcul jusqu’à l’arrondi final : utiliser 3,16 cm à chaque côté donnerait un arrondi prématuré.

Question 8 · Géométrie

Le carré ABCD a une aire de 16 cm². E, F, G et H sont respectivement sur AB, BC, CD et DA, avec AE = BF = CG = DH et AE = 3 EB. Quelle est la nature du quadrilatère dont les sommets sont H, E, F et G dans cet ordre ?

Un rectangle qui n’est pas un carré.
Un carré.
Un losange qui n’a pas d’angle droit.
Un trapèze qui n’a qu’une paire de côtés parallèles.

Les quatre triangles situés aux coins de ABCD sont rectangles, avec des côtés de 1 cm et 3 cm. Pythagore donne donc la même longueur √10 cm aux quatre côtés HE, EF, FG et GH. Les angles en E des triangles HAE et EBF sont complémentaires : ils totalisent 90°. Comme A, E et B sont alignés, l’angle HEF vaut 180° − 90° = 90°. Le même raisonnement vaut aux autres sommets. HEFG possède quatre côtés égaux et quatre angles droits : c’est un carré.

Question 9 · Géométrie

Le carré ABCD a une aire de 16 cm². E, F, G et H sont respectivement sur AB, BC, CD et DA, avec AE = BF = CG = DH et AE = 3 EB. O est le point d’intersection de EG et HF. Quelle est l’aire totale des deux triangles grisés HEO et FGO ?

4 cm²
10 cm²
8 cm²
5 cm²

Le carré HEFG a pour côté √10 cm, donc pour aire (√10)² = 10 cm². Ses deux diagonales EG et HF le partagent en quatre triangles de même aire. Les deux triangles grisés en occupent la moitié : 10 / 2 = 5 cm². La partie grisée n’est pas tout le carré HEFG.

Question 10 · Logique

Joël et Cédric sont deux hommes ; Jeanne et Marianne sont deux femmes. Ces quatre personnes ont chacune une carte différente : le 6 de cœur, le 5 de carreau, le 2 de trèfle et le 8 de carreau. Joël et Marianne ont la même couleur (cœur, carreau ou trèfle, et non rouge ou noir). Un homme possède la plus petite valeur et une femme la plus grande. Quelle carte Marianne possède-t-elle ?

Le 8 de carreau.
Le 5 de carreau.
Le 6 de cœur.
Le 2 de trèfle.

La seule couleur présente deux fois est carreau. Joël et Marianne ont donc le 5 et le 8 de carreau. La plus grande carte, le 8, appartient à une femme : Marianne a le 8 de carreau, et Joël le 5.

Question 11 · Logique

Le 8 de carreau.
Le 6 de cœur.
Le 5 de carreau.
Le 2 de trèfle.

Joël et Marianne partagent nécessairement la couleur carreau, seule présente deux fois. Le 8 revient à Marianne, car la plus forte carte appartient à une femme. Joël possède donc le 5 de carreau. Il reste le 2 de trèfle pour Cédric et le 6 de cœur pour Jeanne.

Question 12 · Logique

Le 2 de trèfle.
Le 6 de cœur.
Le 5 de carreau.
Le 8 de carreau.

Les deux carreaux reviennent à Joël et Marianne ; le 8 est celui de Marianne. Il reste le 2 de trèfle et le 6 de cœur pour Cédric et Jeanne. La plus petite carte appartient à un homme : Cédric a le 2 de trèfle, donc Jeanne a le 6 de cœur. Chaque personne a bien une carte différente.

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